Chủ đề này có 3 trả lời

[CaoHoangAnh]

Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$

[lequangnghia]

Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq x$

 $\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq y$

 $\frac{z^{2}}{z+x}+\frac{z+x}{4}\geq z$

Cộng theo vế ta được 

$\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Mà ta có $1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}\leq x+y+z$

Vậy $\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{1}{2}$

[chaubee2001]

Cách khác:
BĐT Svac-xơ: $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}$
Lại có: $x+y+z \geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$ nên ta có đpcm

[toannguyenebolala]

Gọi A là biểu thức cần chứng minh.

Ta có: A=$(\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4})+(\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4})+(\frac{z^{2}}{z+x}+\frac{z+x}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

A$\geq \frac{x+y+z}{2}$

Lại có: $1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z$

Suy ra $A\geq \frac{1}{2}$ (điều cần chứng minh).