Chủ đề này có 12 trả lời

[tpdtthltvp]

 PHÒNG GD & ĐT LẬP THẠCH                                            ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

                                                                         NĂM HỌC: 2015-2016      

                                                                Môn:Toán 8

                                                                                   Thời gian: $150$ phút (Không kể thời gian giao đề)

 Câu 1: (1,5 điểm)

       Cho biểu thức $A=[\frac{(a-1)^2}{3a+(a-1)^2}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}]:\frac{a^3+4a}{4a^2}$

        a) Rút gọn $A$.

        b) Tìm giá trị của $a$ để biểu thức $A$ đạt giá trị lớn nhất.

 

 Câu 2: (2,5 điểm)

        a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:    $a^3-b^3+c^3+3abc$

        b) Cho $x^2+x=1$. Tính giá trị của biểu thức $Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$.

        c) Cho $a+b+c=0,x+y+z=0$ và $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. 

        Chứng minh rằng $ax^2+by^2+cz^2=0$.

 

 Câu 3: (2,5 điểm)

        a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-xy=6x-5y-8$.

        b)Chứng minh $21^{30}+39^{21}$ chia hết cho $45$.

        c)Giải phương trình: $(2x+3)(x+2)^2(2x+5)=3$.

 

 Câu 4: (2,5 điểm)

         Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I,K,R$ theo thứ tự là trung điểm của $HA,HB,HC$. Gọi  $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB$.

        a) Chứng minh rằng tứ giác $MNIK$ và $PNRK$ là các hình chữ nhật.

        b) Tìm vị trí điểm $O$ cách đều $6$ điểm $P,N,R,K,M,I$.

        c)Với điểm $O$ vừa tìm được, chứng minh $OD=OE=OF$.

 

 Câu 5: (1,0 điểm)

        Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng:

 $$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 22-01-2016 - 12:24

[thaibuithd2001]

anh xin chém bài Bất đẳng thức 

Đầu tiên ta tách như vầy $\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}$

                                                                   $=1+\frac{a^2}{1-a^2}$

                                                                   $=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}$ $\leq$ $1+\frac{a^2}{2bc}$=$1+\frac{a^3}{2abc}$ (1)

Tường tự $\frac{1}{a^2+c^2}$ $\leq$ $1+\frac{b^3}{2abc}$ (2)

                $\frac{1}{a^2+b^2}$ $\leq$ $1+\frac{c^3}{2abc}$ (3)

Từ (1)(2) và (3) cộng vế theo vế đc đpcm =)) 

[thaibuithd2001]

tiếp phương trình nghiệm nguyên 

Từ đẳng thức,ta chuyển vế và biến đổi về phương trình bậc 2 ẩn $x$ , tham số $y$ ta được

                     $x^2-x(6+y)+(5y+8)=0$ (1) có $\Delta=y^2-8y+4$ (2)

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ $\geq$ 0 , giải bất phương trình (2) kết hợp với điều kiện $y$ nguyên ta đươc $y$ $\leq$ 0 hoặc $y$ $\geq$ 8

         Đặt $\Delta=k^2$ ta có phương trình $y^2-8y+4=k^2$ <=> $y^2-8y+4-k^2=0$ (*)

          (*) có $\Delta^{'}$=$k^2$+12 , do đó để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì $\Delta^{'}$ là 1 số chính phương tức là $k^2+12=z^2$ ($z$ $\epsilon$ N , $z$>12) <=>$12=(z-k)(z+k)$ chia trường hợp giải được $k^2=4$ nên từ (*) suy ra $y^2-8y=0$ <=> $y=0$ hoặc $y=8$

Trường hợp $y=0$ giải đc $x=2$ hoặc $x=4$

Trường hợp $y=8$ giải đc $x=8$ hoặc $x=6$

Tóm lại phương trình có 4 nghiệm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 22-01-2016 - 17:01

[I Love MC]

tiếp phương trình nghiệm nguyên 

Từ đẳng thức,ta chuyển vế và biến đổi về phương trình bậc 2 ẩn $x$ , tham số $y$ ta được

                     $x^2-x(6+y)+(5y+8)=0$ (1) có $\Delta=y^2-8y+4$ (2)

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ $\geq$ 0 , giải bất phương trình (2) kết hợp với điều kiện $y$ nguyên ta đươc $y$ $\leq$ 0 hoặc $y$ $\geq$ 8

Để (1) có nghiệm nguyên thì trước hết $\Delta$ phải là số chính phương , giờ ta sẽ xét các ĐKXĐ của $y$ 

TH₁: $y$ $\leq$ 0 

         Nếu $y=0$ thì $\Delta=4$ là số chính phương nên thế vào (1) ta giải được $x=4$ hoặc $x=2$

         Nếu $y$ $\neq$ 0 tức là $y$ $\leq$ -1 thì dễ thấy 1 điều là $(y-4)^{2}$ > $\Delta$ > $(y-3)^{2}$ => không tồn tại $\Delta$ là số chính phương khi $y$ $\leq$ -1

TH₂: $y$ $\geq$ 8 

         Đặt $\Delta=k^2$ ta có phương trình $y^2-8y+4=k^2$ <=> $y^2-8y+4-k^2=0$ (*)

          (*) có $\Delta^{'}$=$k^2$+12 , do đó để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì $\Delta^{'}$ là 1 số chính phương tức là $k^2+12=z^2$ ($z$ $\epsilon$ N ,$z$ > 12) nhưng điều vô lý xảy ra vì không có số chính phương nào mà hơn kém nhau 12 đơn vị cả.Như vậy nếu $y$ $\geq$ 8 thì $\Delta$ không là số chính phương nếu $y$ nguyên.

Cuối cùng thì ta chỉ có 2 nghiệm như trên

Lớp 8 chưa học $\Delta$ đâu, có thể chứng minh cách khác (tương tự như $\Delta$)

[thaibuithd2001]

Lớp 8 chưa học $\Delta$ đâu, có thể chứng minh cách khác (tương tự như $\Delta$)

câu này tui nhầm 1 chỗ , mới sửa lại ngắn hơn =)) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 22-01-2016 - 17:02

[I Love MC]

3) c)  Đặt $t=2x+4$
PT $\Leftrightarrow t^2(t-1)(t+1)=12 \Rightarrow (t-2)(t+2)(t^2+3)=0$ dễ rồi 
b) Anh có máy tính thì làm
2) a) Xuất phát từ đẳng thức $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$ . Câu này muốn hay hơn thì cho $a+b-c \ge 0$ . C/m biểu thức luôn dương ...
b) Thực ra chỉ là một phép chia đa thức của $Q(x)$ cho $x^2+x-1$
 

[I Love MC]

$ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2=y^2(a+c)+x^2(b+c)+z^2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)=-ax^2+(-b)y^2+(-c)z^2$
Suy ra $ax^2+by^2+cz^2=0$

[mdbshhtb2002]

 PHÒNG GD & ĐT LẬP THẠCH                                            ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

                                                                         NĂM HỌC: 2015-2016      

                                                                Môn:Toán 8

                                                                                   Thời gian: $150$ phút (Không kể thời gian giao đề)

 

 Câu 2: (2,5 điểm)

        a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:    $a^3-b^3+c^3+3abc$

 

=a³-3a²b+3ab²-b³+c³+3a²b-3ab²+3abc

=[(a-b)³+c³]+3ab(a-b+c)

=(a-b+c).[(a-b)²-c(a-b)+c²]+3ab(a-b+c)

=(a-b+c).(a²+b²+c²+ab+bc-ac).

[mdbshhtb2002]

 PHÒNG GD & ĐT LẬP THẠCH                                            ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

                                                                         NĂM HỌC: 2015-2016      

                                                                Môn:Toán 8

                                                                                   Thời gian: $150$ phút (Không kể thời gian giao đề)

        b)Chứng minh $21^{30}+39^{21}$ chia hết cho $45$.

       

21³⁰ + 39²¹=(3.7)³⁰+(3.13)²¹=3³⁰.7³⁰+3²¹.13²¹ chia hết cho 9. 
21³⁰ + 39²¹
21 chia cho 5 dư 1 => 21³⁰ chia cho 5 dư 1. 
39 chia cho 5 dư 4 => $39^2$ chia cho 5 dư 1. 
39²¹=39.39²⁰=39.(39^2)¹⁰
21³⁰ + 39²¹ chia hết cho 5. 
Do ƯCLN (5,9)=1 =>21³⁰ + 39²¹ chia hết cho 5.9=45. 

 

 

                 

                                       

                     

       

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mdbshhtb2002: 22-01-2016 - 18:41

[Uchiha sisui]

 

anh xin chém bài Bất đẳng thức 

Đầu tiên ta tách như vầy $\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}$

                                                                   $=1+\frac{a^2}{1-a^2}$

                                                                   $=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}$ $\leq$ $1+\frac{a^2}{2bc}$=$1+\frac{a^3}{2abc}$ (1)

Tường tự $\frac{1}{a^2+c^2}$ $\leq$ $1+\frac{b^3}{2abc}$ (2)

                $\frac{1}{a^2+b^2}$ $\leq$ $1+\frac{c^3}{2abc}$ (3)

Từ (1)(2) và (3) cộng vế theo vế đc đpcm =)) 

 

Dài dòng quá chỉ cần ta nhận thấy ở 3 phân số đều có tử là 1 thì  thay1=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ rồi rút gọn , sử dụng Bất đẳng thức cô - si :$a^{2}+ b^{2}\geq 2ab$ ở dưới mẫu là xong phim

[Uchiha sisui]

21³⁰ + 39²¹=(3.7)³⁰+(3.13)²¹=3³⁰.7³⁰+3²¹.13²¹ chia hết cho 9. 
21³⁰ + 39²¹
21 chia cho 5 dư 1 => 21³⁰ chia cho 5 dư 1. 
39 chia cho 5 dư 4 => $39^2$ chia cho 5 dư 1. 
39²¹=39.39²⁰=39.(39^2)¹⁰
21³⁰ + 39²¹ chia hết cho 5. 
Do ƯCLN (5,9)=1 =>21³⁰ + 39²¹ chia hết cho 5.9=45. 

 

 

                 

                                       

                     

       

   

Dài quá ta nhận thấy là $21^{30}$ và $39^{21}$ đều chia hết cho 9 , mà tổng tận cùng bằng 0 chia hết cho 5 => đpcm

[Tippo2002]

21^30 + 39^21=(3.7)^30+(3.13)^21=3^30.7^30+3^21.... chia hết cho 9. 
21^30 + 39^21 
21 chia cho 5 dư 1 => 21^30 chia cho 5 dư 1. 
39 chia cho 5 dư 4 => 39^2 chia cho 5 dư 1. 
39^21=39.39^20=39.(39^2)^10 
(39^2)^10 chia cho 5 dư 1 
39 chia cho 5 dư 4 =>39.39^20 chia cho 5 dư 4 
21^30 + 39^21 chia hết cho 5. 
Do UCLN (5,9)=1 =>21^30 + 39^21 chia hết cho 5.9=45. 

[anhlun131201]

câu 3, a, tìm nghiệm nguyên của phương trình x² - xy = 6x - 5y - 8

x² - xy = 6x - 5y - 8

$\Leftrightarrow$x( x - y) = 5(x - y) + x -8

$\Leftrightarrow$(x - y)(x - 5) = x - 5 - 3

 $\Leftrightarrow$(x - 5)(x - y - 1) = -3

vì x, y $\in$ Z nên x - 5 và x - y - 1 là ước của 3

suy ra x - 5 $\in$ {-1; -3; 1; 3}

x $\in$ {4; 2; 6; 8}

x=4 thì y = 0

x=2 thì y = 0

x= 1 thì y = 3

x=3 thì y = 3

Vậy (x ; y) $\in$ { (4;0);(2;0);(1;3);(3;3)}