Chủ đề này có 4 trả lời

[giaosutoanhoc]

Với $a,b,c>0$, chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

[tunglamlqddb]

Nhân tử và mẫu với a
Dùng cauchy swart, sau đó đặt p,q,r rồi quy đồng.
( maybe it is true!)

[meomunsociu]

Với $a,b,c>0$, chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Ta có: $a-\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{a+b}{3}$

Tương tự: $\sum a-\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{2}{3}(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$ (ĐPCM)

Dấu"='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[giaosutoanhoc]

Ta có: $a-\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{a+b}{3}$

Tương tự: $\sum a-\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{2}{3}(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$ (ĐPCM)

Dấu"='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Cho mình hỏi tí từ đâu bạn nghĩ ra ý tưởng lấy a trừ cho $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ thế,mai thầy hỏi để mình còn biết cách trả lời 

[royal1534]

Cho mình hỏi tí từ đâu bạn nghĩ ra ý tưởng lấy a trừ cho $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ thế,mai thầy hỏi để mình còn biết cách trả lời 

đây chính là kĩ thuật cauchy ngược dấu mà bạn ấy làm ngược thôi

Có thể tách như sau $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{a+b}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-01-2016 - 06:34