Vào mùa Đông năm 2009, khu vực Bắc Bán cầu phải hứng chịu sự bùng phát dịch cúm H1N1.
Virus H1N1
Theo Tổ chức Y tế Thế giới (WHO):
“Đến ngày 27 tháng 9 năm 2009, hơn 340 000 phòng thí nghiệm trên toàn cầu xác nhận dịch cúm H1N1 đã lây lan lớn trong năm 2009, khiến hơn 4 100 người chết.”
Thời điểm đó virus H1N1 vẫn trong thời kì sinh trưởng theo hàm mũ (cứ mỗi thời khắc qua đi, số lượng virus tăng lên rất nhiều), nhưng kích thước quần thể này không thể tăng liên tục theo hàm mũ mãi mãi được. Ví dụ, ta biết rằng loài thỏ sinh sôi rất nhanh, nhưng nếu lượng cỏ cạn kiệt sẽ khiến số lượng cá thể trong quần thể thỏ đạt mức giới hạn.
Tương tự với dịch bệnh sẽ luôn có mức giới hạn sinh trưởng. Nếu dịch bệnh giết quá nhiều người, virus không còn nơi nào để đi và sự tăng trưởng của chúng sẽ giảm dần theo thời gian và số lượng người nhiễm mới cuối cùng phải giảm xuống.
Ta có thể mô tả những tình huống như thế này bằng phương trình Logistic. Phương trình này mô tả những trường hợp khi kích thước tổng thể ban đầu gia tăng theo dạng hàm mũ, sau đó giảm dần đến một giá trị hằng số nào đó.
Một dạng đơn giản của phương trình Logistic như sau:
$$P\left( t \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-t}}}$$
với $P\left( t \right)$ là kích thước tổng thể tại thời điểm $t$ còn $e$ là hằng số $e=2.718~281~828\ldots $
Đồ thị của phương trình Logistic này kéo dài theo dạng hình chữ “S” như sau:
Lưu ý rằng đoạn đầu tiên của đồ thị (đến $t=0$) biểu diễn sự sinh trưởng theo hàm mũ, rồi từ khúc này, tốc độ sinh trưởng giảm dần và cuối cùng giá trị của $P$ trở thành giá trị hằng số 1.
Ta có thể thu được phương trình Logistic bằng cách giải một vài phương trình vi phân nào đó (phương trình vi phân là một mảng trong vi tích phân).
Mô hình ở trên quá đơn giản để giúp ta thảo luận về H1N1 (ban đầu, ta không thể có ngay phân số quần thể). Một dạng phương trình Logistic hữu ích hơn là:
$$P\left( t \right)=\frac{K{{P}_{0}}{{e}^{rt}}}{K+{{P}_{0}}\left( {{e}^{rt}}+1 \right)}$$
Các biến trong phương trình trên là:
- ${{P}_{0}}=$ kích thước quần thể tại thời điểm $t=0$
- $K=$ kích thước cuối cùng của quần thể sau một thời gian (dài) nào đó, còn được gọi là “sức chịu tải”, kích thước này là giới hạn sự sinh trưởng.
- $r=$ tốc độ sinh trưởng ban đầu.
Ví dụ cho sự bùng phát H1N1 như sau, giả sử có một thị trấn có 100 người, vào một ngày nào đó, 20 người tỉnh dậy thấy mình nhiễm H1N1. Cuối cùng, virus ảnh hưởng mọi người trong thị trấn.
Vậy ${{P}_{0}}=20$ người nhiễm bệnh, $K=1000$ và ta có $r=0.2$.
Thay các giá trị này vào phương trình logistic, sau đó đơn giản, ta được biểu thức sau là số người nhiễm H1N1 tại thời gian $t$ (ngày).
$$P\left( t \right)=\frac{20~000{{e}^{0.2t}}}{980+20{{e}^{0.2t}}}$$
Đây là đồ thị cho tình huống này:
Ta thấy rằng cuối cùng sau 50 ngày thì tất cả mọi người trong thị trấn đều nhiễm bệnh.
Ví dụ thực tế
Mexico lần đầu tiên thông báo sự bùng phát dịch H1N1 vào tháng 3 năm 2009. Số lượng ca nhiễm bệnh tăng nhanh chóng, đến ngày 26 tháng 4 thì số ca nhiễm giảm nhanh chóng.
Nếu bạn lấy tổng tích lũy các trường hợp nhiễm bệnh mới (cộng thêm số ca mới vào tổng) và vẽ đồ thị biểu diễn 53 ngày bùng phát tệ nhất, ta được hình sau:
Ban đầu, tốc độ sinh trưởng gần như tuyến tính cho đến ngày 30, sau đó trở đi tốc độ này giống với đường cong phương trình Logistic.
Phương trình Logistic còn dùng để phân tích các vấn đề trong Mạng Neuron, Thống kê, Dược học, Hóa học và Vật lý.
Nguồn: http://www.intmath.c...c-equation-3498
Người dịch: Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP
