Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
#1
Đã gửi 23-01-2016 - 14:29
- hxthanh và hoangthihaiyen2000 thích
Học sinh chuyên toán, học khá các môn trừ môn toán...
#2
Đã gửi 24-01-2016 - 00:24
Gọi $(2a+1), (2b+1), (2c+1)$ lần lượt là số các chữ số 1,2,3
Ta có: $2a+1+2b+1+2c+1=2015$ hay $a+b+c=1006\qquad (*)$
Ở đó $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
Với mỗi bộ nguyên không âm $(a,b,c)$ thỏa mãn $(*)$ thì ta lập được $\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2b+1)!(2c+1)!}$ số tự nhiên thỏa đề bài
Do đó, đáp số của bài toán là giá trị của tổng sau:
$$S=\sum_{a+b+c=1006}\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2b+1)!(2c+1)!}$$
Có thể thay $c=1006-a-b$, lại đặt $a+b=d$
$$S=\sum_{d=0}^{1006}\sum_{a=0}^d\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2d-2a+1)!(2013-2d)!}$$
$$S=\sum_{d=0}^{1006}\binom{2015}{2d+2}\sum_{a=0}^d \binom{2d+2}{2a+1}$$
$$S=\sum_{d=0}^{1006}2^{2d+1}\binom{2015}{2d+2}\qquad(**)$$
Tổng $(**)$ này không biết phải làm sao để tính!
Nhưng mà đáp số là $S=\dfrac{3^{2015}-3}{4}$
- tpdtthltvp, LacKonKu và dottoantap thích
#3
Đã gửi 24-01-2016 - 08:48
Vâng, em lúng túng với bài này và đang tìm cách tiếp cận khác, PP hàm sinh chẳng hạn.
Học sinh chuyên toán, học khá các môn trừ môn toán...
#4
Đã gửi 17-08-2018 - 10:49
Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2015 chữ số sao cho số lần xuất hiện của mỗi chữ số 1,2,3 là số lẻ.
Vâng, xin dùng hàm sinh:
3 chữ số đã cho có vai trò như nhau nên hàm sinh của chúng là:
$x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
Theo qui tắc xoắn ta có:
$\left ( \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left (e^{x}-e^{-x} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}-3e^{x}+3e^{-x}-e^{-3x} \right )$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\left ( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left ( 3x \right )^{n}}{n!}-3\sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{n}}{n!}+3\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{n}}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\left ( -3 \right )^{n}x^{n}}{n!}\right )=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3^{n}-3+3\left ( -1 \right )^{n}-\left ( -3 \right )^{n}}{8}.\frac{x^{n}}{n!}$
Với $n=2015$, số các số thỏa yêu cầu là:
$\frac{3^{2015}-3+3\left ( -1 \right )^{2015}-\left ( -3 \right )^{2015}}{8}=\frac{2.3^{2015}-6}{8}=\frac{3^{2015}-3}{4} \text{ số}$
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#5
Đã gửi 07-10-2023 - 15:36
Bài này dùng tổ hợp truy hồi cũng được nha
cuối cùng nó sẽ ra S2k+1 = ( 32k+1 -3)/ 4
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dat lon don: 07-10-2023 - 15:37
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh