Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenchithanh1199]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+y^2+z^2+t^2=2xyzt$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 26-09-2016 - 14:47

[UphluMuach]

Không mất tính tổng quát, do $xyzt \ge 0$ nên có thể xét $x,y,z,t$ là các số không âm.
Rõ ràng $(x;y;z;t)=(0;0;0;0)$ là 1 bộ nghiệm của PT.
Ta sẽ xét TH $x,y,z,t$ nguyên dương. Gọi $(x_0;y_0;z_0;t_0)$ là 1 bộ nghiệm PT. Dễ dàng CM: $x_0,y_0,z_0,t_0$ đều chẵn (xét mod 4). Đặt $x_0=2x_1, y_0=2y_2, z_0=2z_1, t_0=2t_1 (x_1, y_1, z_1, t_1 \in N*) \Rightarrow x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2=8x_1y_1z_1t_1$. CMTT, $x_1,y_1,z_1,t_1$ chẵn.
Đến đây, ta dễ đang nhận ra: với bộ nghiệm trên, nếu $x_0 \vdots 2^k$ thì $x_0 \vdots 2^{k+1}$. Đặt $v_2(x_0)=s (s \in N*)$, dễ CM $x_0 \vdots 2^{s+1}$, vô lý.
Vậy bộ nghiệm duy nhất thỏa PT trên là $(0;0;0;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 24-01-2016 - 21:18

[le truong son]

1. Một cách cm khác bằng pp lùi vô hạn   : Giả sử $(xo;yo;zo;to)$ là 1 nghiệm của pt=> $xo^2+yo^2+zo^2+to^2=2xo.yo.zo.to$v dễ dàng cm được xo;yo;zo;to là các số chẵn nên đặt $xo=2x1;yo=2y1;zo=2z1;to=2t1=>x1^2+y^2+z1^2+t1^2=8x1y1z1t1$ =>(x1;y1;z1;t1) là nghiệm của pt hay $(\frac{xo}{2};\frac{yo}{2};\frac{zo}{2};\frac{to}{2})$ là nghiệm của pt; lí luận tương tự => $(\frac{xo}{3^{n}};\frac{yo}{3^n};\frac{zo}{3^n};\frac{to}{3^n})$ là nghiệm của pt với mọi n=>$(xo;yo;zo;to)= (0;0;0;0)$ là nghiệm duy nhất của pt 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 24-01-2016 - 22:44

[stephen curry]

Không mất tính tổng quát, do $xyzt \ge 0$ nên có thể xét $x,y,z,t$ là các số không âm.
Rõ ràng $(x;y;z;t)=(0;0;0;0)$ là 1 bộ nghiệm của PT.
Ta sẽ xét TH $x,y,z,t$ nguyên dương. Gọi $(x_0;y_0;z_0;t_0)$ là 1 bộ nghiệm PT. Dễ dàng CM: $x_0,y_0,z_0,t_0$ đều chẵn (xét mod 4). Đặt $x_0=2x_1, y_0=2y_2, z_0=2z_1, t_0=2t_1 (x_1, y_1, z_1, t_1 \in N*) \Rightarrow x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2=8x_1y_1z_1t_1$. CMTT, $x_1,y_1,z_1,t_1$ chẵn.
Đến đây, ta dễ đang nhận ra: với bộ nghiệm trên, nếu $x_0 \vdots 2^k$ thì $x_0 \vdots 2^{k+1}$. Đặt $v_2(x_0)=s (s \in N*)$, dễ CM $x_0 \vdots 2^{s+1}$, vô lý.
Vậy bộ nghiệm duy nhất thỏa PT trên là $(0;0;0;0)$

bạn ơi , sao cm đc x,y,z,t đều chẵn đc. tôi cho giải sử 4 x,y,z,t đều lẻ thì cũng thỏa đc phương trình mà, vì khi đó vế trái chia hết cho 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi stephen curry: 01-03-2019 - 20:08

[Ha Minh Hieu]

bạn ơi , sao cm đc x,y,z,t đều chẵn đc. tôi cho giải sử 4 x,y,z,t đều lẻ thì cũng thỏa đc phương trình mà, vì khi đó vế trái chia hết cho 2

Nếu x,y,z,t đều lẻ thì VT chia hết cho 4 còn VP chia 4 dư 2