Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$4(a+b+c)=3abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 CaoHoangAnh

CaoHoangAnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Forum Toán Học
  • Sở thích:Toán,Lý,Hóa

Đã gửi 24-01-2016 - 21:08

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$



#2 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 24-01-2016 - 21:18

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Lời giải:

Từ giả thiết $\rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{4}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{8ab}}=\frac{3}{2ab}$$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có:

$$2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})+\frac{3}{8} \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$$

$$2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})+\frac{3}{8} \geq \frac{9}{8}$$

$$\rightarrow \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}} \geq \frac{3}{8}$$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$



#3 caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 24-01-2016 - 21:24

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

bài 2 có điều kiện x, y, z dương không bạn?



#4 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 489 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 24-01-2016 - 21:24

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Bài 1:

Đặt $ x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c} $

Từ $ 4(a+b+c)=3abc $ suy ra $ xy+yz+xz=\dfrac{3}{4} $

BĐT cần cm :$ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge\dfrac{3}{8} $

Áp dụng BĐT $ Holder $ cho 3 bộ số dương $ (1,1,1);(x^{3},y^{3},z^{3}),(x^{3},y^{3},z^{3}) $ ta được:

$ (1^{3}+1^{3}+1^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})\ge (1.x.x+1.y.y+1.z.z)^{3} $

suy ra $ (x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}\ge \dfrac{1}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}\ge \dfrac{1}{3}(xy+yz+xz)^{3}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{27}{64}=\dfrac{9}{64} $

suy ra $ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge \dfrac{3}{8} $(đpcm)



#5 caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 24-01-2016 - 21:28

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Nếu có điều kiện x, y, z dương thì bđt sử dụng kỹ thuật ngược dấu là giải đc

$\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}$

 

 


#6 UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM
  • Sở thích:Toán học, Vật Lý học, Tâm Lý học, Âm nhạc

Đã gửi 24-01-2016 - 21:29

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$
CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$
 
2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$
Biết $x+y+z=1$

Bài 2: $\dfrac{x^3}{x^2+yz}=\dfrac{x(x^2+yz)-xyz}{x^2+yz}=x-\dfrac{xyz}{x^2+yz} \ge x-\dfrac{xyz}{2x.\sqrt{yz}}=x-\dfrac{\sqrt{yz}}{2}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng theo vế, ta có:
VT $\ge (x+y+z)-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2} \ge 1-\dfrac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2} \ge 1-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{1}{2}$
Đẳng thức $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$

#7 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 24-01-2016 - 21:30

 

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Đặt biểu thức cần tìm $Min$ là $P$

Dự đoán $MinP=\frac{1}{2}$ nên ta đi chứng minh $P \geq \frac{1}{2}$

Ta có $P=x-\frac{xyz}{1+x^{2}yz}+y-\frac{xyz}{y^{2}+zx}+z-\frac{xyz}{z^{2}+xy}=1-(\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy})$

Nên bđt cần chứng minh được viết lại thành:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy} \leq \frac{1}{2}$$

Sử dụng bđt AM-GM ta có:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz} \leq \frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2} \leq \frac{y+z}{4}$$

Thiết lập các bđt tương tự và công lại ta có:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy} \leq \frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$$

$\rightarrow$ Đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-01-2016 - 21:45


#8 cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:FC Barcelona
  • Sở thích:Không biết

Đã gửi 24-01-2016 - 21:51

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Ta có $\frac{x^{3}}{x+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}$

Làm tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$\sum (\frac{x^{3}}{x^{2}+yz})$

$=\sum (x-\frac{xyz}{x^{2}+yz})$

$=1-\sum (\frac{1}{\frac{x}{yz}+\frac{1}{x}})\geq 1-\sum (\frac{\sqrt{yz}}{2})\geq 1-\frac{x+y+z}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachcach10x: 24-01-2016 - 21:51

A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh