Đến nội dung

Hình ảnh

$4(a+b+c)=3abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
CaoHoangAnh

CaoHoangAnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$



#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Lời giải:

Từ giả thiết $\rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{4}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{8ab}}=\frac{3}{2ab}$$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có:

$$2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})+\frac{3}{8} \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$$

$$2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})+\frac{3}{8} \geq \frac{9}{8}$$

$$\rightarrow \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}} \geq \frac{3}{8}$$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$



#3
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

bài 2 có điều kiện x, y, z dương không bạn?



#4
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Bài 1:

Đặt $ x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c} $

Từ $ 4(a+b+c)=3abc $ suy ra $ xy+yz+xz=\dfrac{3}{4} $

BĐT cần cm :$ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge\dfrac{3}{8} $

Áp dụng BĐT $ Holder $ cho 3 bộ số dương $ (1,1,1);(x^{3},y^{3},z^{3}),(x^{3},y^{3},z^{3}) $ ta được:

$ (1^{3}+1^{3}+1^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})\ge (1.x.x+1.y.y+1.z.z)^{3} $

suy ra $ (x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}\ge \dfrac{1}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}\ge \dfrac{1}{3}(xy+yz+xz)^{3}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{27}{64}=\dfrac{9}{64} $

suy ra $ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge \dfrac{3}{8} $(đpcm)



#5
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Nếu có điều kiện x, y, z dương thì bđt sử dụng kỹ thuật ngược dấu là giải đc

$\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}$

 

 


#6
UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$
CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$
 
2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$
Biết $x+y+z=1$

Bài 2: $\dfrac{x^3}{x^2+yz}=\dfrac{x(x^2+yz)-xyz}{x^2+yz}=x-\dfrac{xyz}{x^2+yz} \ge x-\dfrac{xyz}{2x.\sqrt{yz}}=x-\dfrac{\sqrt{yz}}{2}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng theo vế, ta có:
VT $\ge (x+y+z)-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2} \ge 1-\dfrac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2} \ge 1-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{1}{2}$
Đẳng thức $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$

#7
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

 

 

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Đặt biểu thức cần tìm $Min$ là $P$

Dự đoán $MinP=\frac{1}{2}$ nên ta đi chứng minh $P \geq \frac{1}{2}$

Ta có $P=x-\frac{xyz}{1+x^{2}yz}+y-\frac{xyz}{y^{2}+zx}+z-\frac{xyz}{z^{2}+xy}=1-(\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy})$

Nên bđt cần chứng minh được viết lại thành:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy} \leq \frac{1}{2}$$

Sử dụng bđt AM-GM ta có:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz} \leq \frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2} \leq \frac{y+z}{4}$$

Thiết lập các bđt tương tự và công lại ta có:

$$\frac{xyz}{1+x^2yz}+\frac{xyz}{1+y^{2}zx}+\frac{xyz}{1+z^2xy} \leq \frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$$

$\rightarrow$ Đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-01-2016 - 21:45


#8
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Ta có $\frac{x^{3}}{x+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}$

Làm tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$\sum (\frac{x^{3}}{x^{2}+yz})$

$=\sum (x-\frac{xyz}{x^{2}+yz})$

$=1-\sum (\frac{1}{\frac{x}{yz}+\frac{1}{x}})\geq 1-\sum (\frac{\sqrt{yz}}{2})\geq 1-\frac{x+y+z}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachcach10x: 24-01-2016 - 21:51

A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh