Chủ đề này có 9 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1) $P=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)$

2) $P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

[haichau0401]

Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

2) $P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

Giả sử $z=min{x,y,z}$

Khi đó ta có:

$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=3$

$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}(1)$

Mà $x\geq y\geq z$ nên

$\frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}(2)$

$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}(3)$ 

Cộng (1), (2), và (3) suy ra:

$P\leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi và chỉ khi $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị

[tunglamlqddb]

Ý a
Giả sử z là số nhỏ nhất trong x,y,z
Khi đó P≤ 2(x³+y³)-x²y
Nếu x≥y thì P≤2x³+y³≤3
Nễu x≤y thì P≤x³+2y³≤3
Như vậy max P=3 khi (1,1,0) và hoán vị hoặc khi (1,1,1)

Liệu như vậy đc ko nhỉ?

[Truong Gia Bao]

Ý a
Giả sử z là số nhỏ nhất trong x,y,z
Khi đó P≤ 2(x³+y³)-x²y
Nếu x≥y thì P≤2x³+y³≤3
Nễu x≤y thì P≤x³+2y³≤3
Như vậy max P=3 khi (1,1,0) và hoán vị hoặc khi (1,1,1)

Liệu như vậy đc ko nhỉ?

Bạn nói rõ hơn về cách đưa đến các kết luận được không, viết luôn như vậy mình ko hiểu. P≤ 2(x³+y³)-x²y ? P≤2x³+y³≤3? P≤x³+2y³≤3?

[tunglamlqddb]

Giả sử $z=min{x,y,z}$
Khi đó ta có:
$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=3$
$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$
$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}(1)$
Mà $x\geq y\geq z$ nên
$\frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}(2)$
$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}(3)$ 
Cộng (1), (2), và (3) suy ra:
$P\leq 1$
Vậy GTLN của P là 1 khi và chỉ khi $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị

(1,1,1);,(0,0,0) vẫn đc mà bạn, vs lại giả sử x max chứ!

[tunglamlqddb]

Bạn nói rõ hơn về cách đưa đến các kết luận được không, viết luôn như vậy mình ko hiểu. P≤ 2(x³+y³)-x²y ? P≤2x³+y³≤3? P≤x³+2y³≤3?

Mình nghĩ là: y²z≥z³
z²x≥z³
Nên P≤2(x³+y³)-x²y
Nếu x≥y thì x²y≥y³
Nếu x≤y thì x²y≥x³

[Truong Gia Bao]

Giả sử $z=min{x,y,z}$

Khi đó ta có:

$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=3$

$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}(1)$

Mà $x\geq y\geq z$ nên

$\frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}(2)$

$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}(3)$ 

Cộng (1), (2), và (3) suy ra:

$P\leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi và chỉ khi $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị

Sao bạn không lợi dụng nhiều vào ĐK $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$  nhỉ, cái đó là chìa khóa thì phải...!!!

[haichau0401]

Sao bạn không lợi dụng nhiều vào ĐK $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$  nhỉ, cái đó là chìa khóa thì phải...!!!

Cái đó xem như là điều kiện thôi 

[tunglamlqddb]

Sao bạn không lợi dụng nhiều vào ĐK $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$  nhỉ, cái đó là chìa khóa thì phải...!!!

Bạn ns rõ hơn đc hem?

[quan1234]

Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1) $P=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)$

 

$(x^2-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow x^2y+1\geq x^2+y\geq x^3+y^3\Leftrightarrow 1\geq x^3+y^3-x^2y$

Tương tự, rồi cộng lại ta được $3\geq 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)$