Chủ đề này có 4 trả lời

[01634908884]

cho ba số thực dương x,y,z có x+y+z=$\bg_black \sqrt{2}$ ,tìm giá trị nhỏ nhất

$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 01634908884: 26-01-2016 - 16:00

[Min Nq]

Hình như có vấn đề

$x+y+z=0\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=-xyz< 0$ 

Thế thì còn gì là ĐKXĐ nữa?

[Nhok Tung]

cho ba số thực dương x,y,z có x+y+z=0 ,tìm giá trị nhỏ nhất

$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})$

Kiểm tra lại đề đi bạn 

Cho 3 số dương x,y,z rồi, sao có x+y+z=0 nữa     

[01634908884]

$\bg_black \frac{(x+y)\sqrt{(y+z)(x+z)}}{z}+\frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{(x+z)\sqrt{(y+z))(x+z)}}{x}$

 

Min là 4$\bg_black \sqrt{2}$ với x=Y=z=$\bg_black \frac{\sqrt{2}}{3}$

[I Love MC]

Ta có:

$A\geq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}{xyz}}$

$=3\sqrt[6]{\frac{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^{4}}{(xyz)^{2}}}$

Mà ta có bổ đề:

$(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8(x+y+z)(xy+yz+zx)}{9}$

$\Rightarrow (x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}\geq \frac{64}{81}(x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}\geq \frac{64}{81}(x+y+z)^{2}.3xyz(x+y+z)=\frac{64}{27}.xyz(x+y+z)^{3}$

$\Rightarrow (x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^{4}\geq \frac{4096}{729}(xyz)^{2}(x+y+z)^{6}=\frac{4096}{729}.(\sqrt{2})^{6}.(xyz)^{2}=\frac{32768}{729}(xyz)^{2}$

$\Rightarrow A\geq 3\sqrt[6]{\frac{32768}{729}}=4\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$