Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tính phần nguyên của A


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Đọc các bài viết về Toán nhưng không thích làm Toán

Đã gửi 25-01-2016 - 19:47

Tính phần nguyên của $A$ với

$A=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}$

trong đó $n$ là số nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 25-01-2016 - 19:51

Success doesn't come to you. You come to it.


#2 Tran Hai Dang

Tran Hai Dang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đặng Thai Mai
  • Sở thích:WU TANG CLAN

Đã gửi 26-01-2016 - 18:44

Ta có với mọi k tự nhiên, k$\le$ n thì

$\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$ mà $0<\frac{1}{k}<1$ nên $1<1+\frac{1}{k}<2\Rightarrow \sqrt[k+1]{1}<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt[k+1]{2}<\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt{2}\approx 1,41$

=> Phần nguyên các số có dạng $\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=1$

=> Vậy A có n số hạng=> 1+1+1+...+1=n

(P/s: cảm giác không đúng lắm nên xem xét trước cái đã :D )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hai Dang: 26-01-2016 - 18:53

You can't find Chuck Norris, Chuck Norris find you¯\_(ツ)_/¯ (╯°□°)╯

x_x

Source:Google


#3 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Đọc các bài viết về Toán nhưng không thích làm Toán

Đã gửi 27-01-2016 - 19:56

Ta có với mọi k tự nhiên, k$\le$ n thì

$\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$ mà $0<\frac{1}{k}<1$ nên $1<1+\frac{1}{k}<2\Rightarrow \sqrt[k+1]{1}<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt[k+1]{2}<\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt{2}\approx 1,41$

=> Phần nguyên các số có dạng $\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=1$

=> Vậy A có n số hạng=> 1+1+1+...+1=n

(P/s: cảm giác không đúng lắm nên xem xét trước cái đã :D )

Làm gì có tính chất $\left [ \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right ]=\sum_{i=1}^{n}\left [ a_{i} \right ]$


Success doesn't come to you. You come to it.


#4 Tran Hai Dang

Tran Hai Dang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đặng Thai Mai
  • Sở thích:WU TANG CLAN

Đã gửi 27-01-2016 - 22:28

Để xem lại đã

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hai Dang: 27-01-2016 - 22:32

You can't find Chuck Norris, Chuck Norris find you¯\_(ツ)_/¯ (╯°□°)╯

x_x

Source:Google


#5 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 28-01-2016 - 16:51

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli 
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} \ge 1$ 
Suy ra $n \le A \le n+1-\frac{1}{n+1}<n+1$ 
Vậy $[A]=n$ 



#6 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Đọc các bài viết về Toán nhưng không thích làm Toán

Đã gửi 29-01-2016 - 19:00

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli 
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} \ge 1$ 
Suy ra $n \le A \le n+1-\frac{1}{n+1}<n+1$ 
Vậy $[A]=n$ 

Có cách nào không dùng bđt Bernouli không vì có vẻ nó hơi quá tầm THCS


Success doesn't come to you. You come to it.


#7 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-01-2016 - 19:42

Có cách nào không dùng bđt Bernouli không vì có vẻ nó hơi quá tầm THCS

Chứng minh bđt Bernouli bằng THCS vẫn được mà bạn :) 



#8 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 29-01-2016 - 19:52

Đây là một trường hợp nhỏ của bất đẳng thức Bernoulli:

Với mọi số thực $x>-1$ và hai số nguyên dương $b>a$ thì $ax+b\geqslant b\sqrt[b]{(x+1)^a}$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM với $a$ số $x+1$ và $b-a$ số $1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh