Đến nội dung

Hình ảnh

Tính phần nguyên của A


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Tính phần nguyên của $A$ với

$A=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}$

trong đó $n$ là số nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 25-01-2016 - 19:51

Success doesn't come to you. You come to it.


#2
Tran Hai Dang

Tran Hai Dang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Ta có với mọi k tự nhiên, k$\le$ n thì

$\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$ mà $0<\frac{1}{k}<1$ nên $1<1+\frac{1}{k}<2\Rightarrow \sqrt[k+1]{1}<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt[k+1]{2}<\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt{2}\approx 1,41$

=> Phần nguyên các số có dạng $\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=1$

=> Vậy A có n số hạng=> 1+1+1+...+1=n

(P/s: cảm giác không đúng lắm nên xem xét trước cái đã :D )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hai Dang: 26-01-2016 - 18:53

You can't find Chuck Norris, Chuck Norris find you¯\_(ツ)_/¯ (╯°□°)╯

x_x

Source:Google


#3
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Ta có với mọi k tự nhiên, k$\le$ n thì

$\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$ mà $0<\frac{1}{k}<1$ nên $1<1+\frac{1}{k}<2\Rightarrow \sqrt[k+1]{1}<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt[k+1]{2}<\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1<\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}<\sqrt{2}\approx 1,41$

=> Phần nguyên các số có dạng $\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=1$

=> Vậy A có n số hạng=> 1+1+1+...+1=n

(P/s: cảm giác không đúng lắm nên xem xét trước cái đã :D )

Làm gì có tính chất $\left [ \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right ]=\sum_{i=1}^{n}\left [ a_{i} \right ]$


Success doesn't come to you. You come to it.


#4
Tran Hai Dang

Tran Hai Dang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Để xem lại đã

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hai Dang: 27-01-2016 - 22:32

You can't find Chuck Norris, Chuck Norris find you¯\_(ツ)_/¯ (╯°□°)╯

x_x

Source:Google


#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli 
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} \ge 1$ 
Suy ra $n \le A \le n+1-\frac{1}{n+1}<n+1$ 
Vậy $[A]=n$ 



#6
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli 
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} \ge 1$ 
Suy ra $n \le A \le n+1-\frac{1}{n+1}<n+1$ 
Vậy $[A]=n$ 

Có cách nào không dùng bđt Bernouli không vì có vẻ nó hơi quá tầm THCS


Success doesn't come to you. You come to it.


#7
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Có cách nào không dùng bđt Bernouli không vì có vẻ nó hơi quá tầm THCS

Chứng minh bđt Bernouli bằng THCS vẫn được mà bạn :) 



#8
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Đây là một trường hợp nhỏ của bất đẳng thức Bernoulli:

Với mọi số thực $x>-1$ và hai số nguyên dương $b>a$ thì $ax+b\geqslant b\sqrt[b]{(x+1)^a}$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM với $a$ số $x+1$ và $b-a$ số $1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh