Bài 9 :
a/ Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 đẳng thức sau :
$1) a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$2) \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Tính Giá trị biểu thức : $P=xy+yz+zx$
b/ Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn 2 đẳng thức sau :
$1)a+b=c+d$
$2)ab+1=cd$
Chứng minh : c=d
c/ Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 đẳng thức sau :
$1)xy+x+y=3$
$2)yz+y+z=8$
$3) xz+z+x=15$
Tìm Giá trị của $P=x+y+z$
Bài 10 : Tam giác ABC có các cạnh với độ dài tương ứng là AB=c; AC=b; BC=a. Với mỗi trường hợp dưới dây thì "Tam giác ABC là tam giác gì" nếu (giải từng trường hợp) :
1/$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$
2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
3/ a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 9:
a)
Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ak \\ y=bk \\ z=ck \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=k^2(ab+bc+ca)(1)$
Mặt khác: $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\Rightarrow ab+bc+ca=0(2)$
Từ $(1),(2)\Rightarrow P=0$
b)
$a+b=c+d\Rightarrow a=c+d-b$ nên $ab+1=cd\Leftrightarrow (c+d-b)b+1=cd\Leftrightarrow (d-b)(b-c)=1$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} b-d=b-c=1 \\ b-d=b-c=-1 \end{bmatrix}\Rightarrow c=d$
c)
$\left\{\begin{matrix}
xy+x+y=3 \\ yz+y+z=8 \\ xz+z+x=15
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+1)(y+1)=4 \\ (y+1)(z+1)=9 \\ (x+1)(z+1)=16
\end{matrix}\right.\Rightarrow (x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=576$
Từ đó tính được $x,y,z$.
Bài 10:
1) Áp dụng BĐT: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow a=b=c\Rightarrow$ tam giác đó đều.
2) $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{cd}.2\sqrt{ca}=8abc\Rightarrow a=b=c$
3) $a^3+b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\Rightarrow a=b=c$
P/S: Mấy bài này bạn lấy trong sách 23 chuyên đề phải không?