Chủ đề này có 4 trả lời

[vuchidung2001]

cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.CMR:

    $\sum \frac{a^2}{b^2}\geq 3\sqrt[3]{3\frac{\sum a^3}{(\sum a^2b)(\sum ab)}}$

                          (Vũ Chí Dũng)                                                                                                       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung2001: 28-01-2016 - 16:18

[quoccuonglqd]

Bất đẳng thức tương đương $(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})^{6}(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geqslant 6561(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

Đúng từ:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})(ab+bc+ca)^{2}.3\geqslant (a+b+c)^{4}$

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})^{2}=(\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}).(a^{4}c^{2}+b^{4}a^{2}+c^{4}b^{2})(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})\geqslant (\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}})^{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geqslant 3$

$\frac{3}{abc}\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$

Đẳng thức tại $a=b=c$

p/s:các đánh giá trên đều dựa trên điều kiện $a+b+c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 01-02-2016 - 21:00

[vuchidung2001]

Lời giải hay đấy

[vuchidung2001]

Sau đây là lời giải của tôi:

 Áp dụng bất đẳng thức CBS có:

 $3\sum \frac{a^2}{b^2}\geq \sum (\frac{a}{b})^2$

 Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM,ta dễ dàng chứng minh:

   $\sum \frac{a}{b}\geq 3$ <=>$3\sum \frac{a^2}{b^2}\geq 3\sum \frac{a}{b}$

                  <=>$\sum \frac{a^2}{b^2}\geq \sum \frac{a}{b}$(1)                         

Áp dụng bất đẳng thức CBS dạng cộng mẫu số có:

  $\sum \frac{a}{b}= \sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum ab}$ (2)

  Từ (1)và (2) <=>$\sum \frac{a^2}{b^2}\geq \frac{(\sum a)^2 }{\sum ab}= \frac{9}{\sum ab}$(do $a+b+c=3$) (3)

Áp dụng bất đẳng thức Holder,có:

 $(\sum \frac{a^2}{b^2})^2(\sum a^2b)\geq (\sum \frac{a^2}{b})^3$ (4)

 Giờ ta sẽ đi chứng minh 

  $\sum \frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[3]{\sum \frac{a^3}{3}}$ (5)

Áp dụng bất đẳng thức CBS,có

 $\sum \frac{a^2}{b}= \sum \frac{a^3}{ab}\geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^2}{\sum ab}$

  (5) sẽ đúng nếu ta chứng minh được

 $(\sum a\sqrt{a})^6\geq 9(\sum a^3)(\sum ab)^3$

  Thật vậy,áp dụng bất đẳng thức AM-GM,có:

    $(\sum a\sqrt{a})^6= (\sum a^3+2\sum ab\sqrt{ab})^3\geq 27(\sum a^3)(\sum ab\sqrt{ab})^2$   

 Áp dụng bất đẳng thức Holder,có:$3(\sum a\sqrt{a})^2\geq (\sum a)^3$

                                                 <=> $(\sum a\sqrt{a})^6\geq 9(\sum a^3)(\sum ab)^3$

                                                  <=>(5) đúng

                                                  <=>Kết hợp(4) và (5) có: $(\sum \frac{a^2}{b^2})^2(\sum a^2b)\geq 9\sum a^3$

                                                  <=>    $(\sum \frac{a^2}{b^2})^2\geq\frac{ 9\sum a^3}{\sum a^2b}$ (6)

  Nhân (3) và (6) rồi căn bậc 3 cả 2 vế có: $\sum \frac{a^2}{b^2}\geq 3\sqrt[3]{3\frac{(\sum a^3)}{(\sum a^2b)\left ( \sum ab \right ) }}$ (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung2001: 04-02-2016 - 17:17

[vuchidung2001]

 

Bất đẳng thức tương đương $(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})^{6}(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geqslant 6561(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

Đúng từ:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})(ab+bc+ca)^{2}.3\geqslant (a+b+c)^{4}$

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})^{4}=(\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}})^{2}.(a^{4}c^{2}+b^{4}a^{2}+c^{4}b^{2})^{2}(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})^{2}\geqslant (\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}})^{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

$\frac{3}{abc}\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$

Đẳng thức tại $a=b=c$

p/s:các đánh giá trên đều dựa trên điều kiện $a+b+c=3$

 

Nhưng bạn ơi ,tại sao lại có đánh giá:$(\sum a^4c^2)^2(\sum \frac{a^2}{b^2})^2\geq (\sum a^3)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung2001: 01-02-2016 - 18:19