Chủ đề này có 3 trả lời

[Kira Tatsuya]

giải :$\frac{(x-1)^4}{(x^2-3)^2}+(x^2-3)^4+\frac{1}{(x-1)^2}=3x^2-2x-5$

[phamhuy1801]

giải :$\frac{(x-1)^4}{(x^2-3)^2}+(x^2-3)^4+\frac{1}{(x-1)^2}=3x^2-2x-5$

 

Viết lại phương trình $\frac{(x-1)^4}{(x^2-3)^2}+(x^2-3)^4+\frac{1}{(x-1)^2}=2(x^2-3)+(x-1)^2           (1)$

 $ (x-1)^2=a > 0; x^2-3=b \neq 0$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a}=2b+a$

Mặt khác:

$\frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a} \ge \frac{(a+b^2+1)^2}{b^2+a+1}=b^2+a+1 \ge 2b+a$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1 \Leftrightarrow x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 28-01-2016 - 18:27

[I Love MC]

ĐKXĐ : $x \ne 1$ ,$x \ne \pm \sqrt{3}$ 
PT $ \Leftrightarrow \frac{(x-1)^4}{(x^2-3)^2}+(x^2-3)^4+\frac{1}{(x-1)^2}=(x-1)^2+2(x^2-3)$ 
Đặt $a=(x-1)^2>0,b=x^2-3$ . Phương trình trở thành : 
$\frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a}=a+2b$ 
Áp dụng bất đẳng thức $BCS$ : 
$( \frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a})(b^2+1+a) \ge (a+b^2+1)^2$
$ \Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a} \ge a+b^2+1 \ge a+2b$ 
Từ đó suy ra $\begin{cases} & (x-1)^2 & \\ &x^2-3=1& \end{cases}$ 
$\Leftrightarrow x=2$ 
Vậy pt có nghiệm duy nhất là $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 27-01-2016 - 21:53

[Tinh1100174]

 

Viết lại phương trình $\frac{(x-1)^4}{(x^2-3)^2}+(x^2-3)^4+\frac{1}{(x-1)^2}=2(x^2-3)+(x-1)^2           (1)$

 $ (x-1)^2=a > 0; x^2-3=b \neq 0$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a}=2a+b$

Mặt khác:

$\frac{a^2}{b^2}+b^4+\frac{1}{a} \ge \frac{(a+b^2+1)^2}{b^2+a+1}=b^2+a+1 \ge 2b+a$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1 \Leftrightarrow x=2$

 

bạn chứng minh lớn hơn 2b+a còn cái đề thì 2a+b do đó dấu = trong bđt và dấu = trong pt không đồng thời xảy ra