Chủ đề này có 1 trả lời

[Kira Tatsuya]

$a,b,c>0$ thỏa $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0$.Tìm $Min$:

$P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

[NTA1907]

$a,b,c>0$ thỏa $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0$.Tìm $Min$:

$P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

Từ gt$\Rightarrow 9\left [ (a^{4}+1)+(b^{4}+1)+(c^{4}+1) \right ]-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0\geq 18(a^{2}+b^{2}+c^{2})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

Ta có:

$P=\frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}+\frac{b^{4}}{b^{2}c+2ab^{2}}+\frac{c^{4}}{ac^{2}+2bc^{2}} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$

Mà $2a^{2}b\leq a^{2}+a^{2}b^{2}$

Tương tự ta có:

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

$\Rightarrow F\geq 1$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$