GPT: $\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}=3\sqrt[4]{3}$
#2
Đã gửi 28-01-2016 - 00:04
ngochapid
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
Ai có thể làm bài này theo cách đánh giá không phải liên hợp được không ạ?
#3
Đã gửi 28-01-2016 - 01:11
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
GPT: $\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}=3\sqrt[4]{3}$
Giải:
đkxđ: $0\leqslant x\leqslant 2$
Ta sẽ C/m $VT \leqslant VP$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có
$VT^2=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2(4x-x^3)}+1.\sqrt{x+x^3} \end{pmatrix}^2$
$\leqslant \begin{pmatrix} \frac{1}{2}+1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} 2(4x-x^3)+x+x^3 \end{bmatrix}=\frac{3}{2}\begin{pmatrix} -x^3+9x \end{pmatrix}$
$\leqslant \frac{3}{2}.6\sqrt{3}=9\sqrt{3}=VP^2$ (do $-x^3+9x\leq 6\sqrt{3}\Leftrightarrow (x-\sqrt{3})^2(x+2\sqrt{3})\geqslant 0$)
Vậy $VT \leqslant VP$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 28-01-2016 - 01:11
- royal1534, haichau0401, le truong son và 2 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 28-01-2016 - 12:49
lequangnghia
-
- Thành viên
-
- 84 Bài viết
Hạ sĩ
GPT: $\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}=3\sqrt[4]{3}$
Ta có $\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}}$
$=\sqrt{x(4-x^{2})}+\sqrt{x(1+x^{2})}$
$= \sqrt[4]{3}\sqrt{\frac{x}{\sqrt{3}}(4-x^{2})}+\frac{\sqrt[4]{3}}{2}\sqrt{\frac{4x}{\sqrt{3}}(1+x^{2})}$
$\leq \sqrt[4]{3}.\frac{\frac{x}{\sqrt{3}}+4-x^{2}}{2}+\frac{\sqrt[4]{3}}{2}.\frac{\frac{4x}{\sqrt{3}}+1+x^{2}}{2}$
$\sqrt[4]{3}(\frac{3}{2\sqrt{3}}x+3-\frac{x^{2}}{4})$
Đến đây xét hàm số trên $[0,2]$ là ta thu được max của VT là$3\sqrt[4]{3}$
dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{3}$
- leminhnghiatt và ngochapid thích
Best teacher of seaver sea
#5
Đã gửi 28-01-2016 - 22:30
ngochapid
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
Giải:
đkxđ: $0\leqslant x\leqslant 2$
Ta sẽ C/m $VT \leqslant VP$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có
$VT^2=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2(4x-x^3)}+1.\sqrt{x+x^3} \end{pmatrix}^2$
$\leqslant \begin{pmatrix} \frac{1}{2}+1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} 2(4x-x^3)+x+x^3 \end{bmatrix}=\frac{3}{2}\begin{pmatrix} -x^3+9x \end{pmatrix}$
$\leqslant \frac{3}{2}.6\sqrt{3}=9\sqrt{3}=VP^2$ (do $-x^3+9x\leq 6\sqrt{3}\Leftrightarrow (x-\sqrt{3})^2(x+2\sqrt{3})\geqslant 0$)
Vậy $VT \leqslant VP$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{3}$
Em có thể hỏi lý do tại sao nghĩ đến việc đánh giá ntn được không ạ?
#6
Đã gửi 30-01-2016 - 22:53
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Em có thể hỏi lý do tại sao nghĩ đến việc đánh giá ntn được không ạ?
Dự đoán dấu "=" xảy ra bạn ạ!!
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
