Chủ đề này có 1 trả lời

[quynhquynh]

Cho dãy số (\[a_{n}\] ) được xác định \[a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}, n\geq 1\]

 

a) CMR; dãy số (\[a_{n}\] ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

b) đặt \[b_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\] vơi mỗi số nguyên dương n .Tìm phần nguyên \[\left [ b_{n} \right ]\] và \[\lim b_{n}\]

[gianglqd]

 

Cho dãy số (\[a_{n}\] ) được xác định \[a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}, n\geq 1\]

 

a) CMR; dãy số (\[a_{n}\] ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

b) đặt \[b_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\] vơi mỗi số nguyên dương n .Tìm phần nguyên \[\left [ b_{n} \right ]\] và \[\lim b_{n}\]

 

a) Đầu tiên dễ dàng CM $a_{n}> 0 \forall n$

Tiếp theo ta chứng minh $a_{n}< 1 \forall n$

Cả 2 bước trên quy nạp là ra ngay

Kế đó ta CM dãy giảm cũng bằng quy nạp

Ta có: $a_{n+1}-a_{n}= \dfrac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}-a_{n}= \dfrac{2a_{n}^{2}-a_{n}(a_{n}^{2}+1)}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}=-\dfrac{a_{n}(a_{n}+1)^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}< 0$

Vậy dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn

Bằng cách chia cả tử mẫu cho $a_{n}^{2}$ ta tính được lim=0

Không biết đúng không