Chủ đề này có 4 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR

           $ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$

[haichau0401]

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR

           $ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$

Ta có:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Theo đề bài ta có:

$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$

$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)

[mam1101]

(x² + y + 1)(1 + y + z² ) $\geq (x + y + z )^{2}$

Vậy 

$\frac{1}{x^{2} + y + 1} \leq \frac{1 + y + z^{2} }{(x + y + z )^{2}}$

Mà (x + y + z)² $\geq$ 3(xy + yz +xz)

Hay (xy + yz +xz)² $\geq$ 3(xy + yz +xz) Hay (xy + yz +xz) $\geq$ 3

Vậy VT $\leq \frac{3 + xy + yz +xz + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x + y + z )^{2}}$

$\leq \frac{(x + y + z )^{2}}{(x + y + z )^{2}}$

= 1

[ineX]

Ta có:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Theo đề bài ta có:

$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$

$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)

cho hỏi bước này

[mam1101]

cho hỏi bước này

Nhân cả tử và mẫu cho 1 + y + z²

Dưới mẫu dùng Bunhia