Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR
$ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR
$ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR
$ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$
Ta có:
$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Theo đề bài ta có:
$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$
$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$
$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)
(x2 + y + 1)(1 + y + z2 ) $\geq (x + y + z )^{2}$
Vậy
$\frac{1}{x^{2} + y + 1} \leq \frac{1 + y + z^{2} }{(x + y + z )^{2}}$
Mà (x + y + z)2 $\geq$ 3(xy + yz +xz)
Hay (xy + yz +xz)2 $\geq$ 3(xy + yz +xz) Hay (xy + yz +xz) $\geq$ 3
Vậy VT $\leq \frac{3 + xy + yz +xz + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x + y + z )^{2}}$
$\leq \frac{(x + y + z )^{2}}{(x + y + z )^{2}}$
= 1
Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ
Ta có:
$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Theo đề bài ta có:
$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$
$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$
$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)
cho hỏi bước này
cho hỏi bước này
Nhân cả tử và mẫu cho 1 + y + z2
Dưới mẫu dùng Bunhia
Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh