Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR $\sum \frac{1}{x^2+y+1}\leqslant 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 28-01-2016 - 19:57

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR

           $ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$



#2 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 28-01-2016 - 20:24

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$.CMR

           $ \frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\leqslant 1$

Ta có:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Theo đề bài ta có:

$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$

$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)


Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#3 mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Anh Sơn 1
  • Sở thích:VMF

Đã gửi 28-01-2016 - 20:27

(x+ y + 1)(1 + y + z2 ) $\geq (x + y + z )^{2}$

Vậy 

$\frac{1}{x^{2} + y + 1} \leq \frac{1 + y + z^{2} }{(x + y + z )^{2}}$

Mà (x + y + z)$\geq$ 3(xy + yz +xz)

Hay (xy + yz +xz)$\geq$ 3(xy + yz +xz) Hay (xy + yz +xz) $\geq$ 3

Vậy VT $\leq \frac{3 + xy + yz +xz + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x + y + z )^{2}}$

$\leq \frac{(x + y + z )^{2}}{(x + y + z )^{2}}$

= 1


Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#4 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 28-01-2016 - 20:29

Ta có:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Theo đề bài ta có:

$\sum \frac{1}{x^2+y+1}=\sum \frac{1+y+z^2}{(1+y+z^2)(x^2+y+1)}\leq \sum \frac{1+y+z^2}{(x+y+z)^2}$

$=\frac{3+x+y+z+x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x+y+z)}{(x+y+z)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$ (luôn đúng)

cho hỏi bước này


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#5 mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Anh Sơn 1
  • Sở thích:VMF

Đã gửi 28-01-2016 - 20:30

cho hỏi bước này

Nhân cả tử và mẫu cho 1 + y + z2

Dưới mẫu dùng Bunhia


Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh