Chủ đề này có 3 trả lời

[HeilHitler]

Bài toán: Cho $x,y,z >0$ chứng minh rằng $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$.

[anhtukhon1]

Bài toán: Cho $x,y,z >0$ chứng minh rằng $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$.

$\sum \frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{9}{\sum x^{2}+\sum xy}(BCS)\geq \frac{9}{\sum x^{2}+2\sum xy}(x,y,z>0)=\frac{9}{(x+y+z)^{2}}\Rightarrow \blacksquare$

[haichau0401]

$\sum \frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{9}{\sum x^{2}+\sum xy}(BCS)\geq \frac{9}{\sum x^{2}+2\sum xy}(x,y,z>0)=\frac{9}{(x+y+z)^{2}}\Rightarrow \blacksquare$

Sai rồi kìa bạn

phải là $\sum \frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{9}{\sum 2x^{2}+\sum xy}$ chứ!

[superpower]

Bài toán: Cho $x,y,z >0$ chứng minh rằng $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$.

Nhân cả 2 vế cho $x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx $

Ta cần chứng minh 

$3+ (x+y+z). \sum \frac{z}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9(x+y+z)^2-9(xy+yz+xz)}{(x+y+z)^2} = 9 -9\frac{xy+yz+zx}{(x+y+z)^2}  $

Mà ta có $ \sum \frac{z}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}= \frac{x+y+z}{xy+yz+zx} $

Suy ra ta cần chứng minh 

$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} + 9\frac{xy+yz+zx}{(x+y+z)^2} \geq 6 $ Đúng theo AM-GM

Do đó bđt được chứng minh

Bài này là 1 bđt có thể suy ra từ bđt IRAN 96

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 28-01-2016 - 21:22