Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}

cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

1. Cho $x, y, z > 0$ và $x + y + z = 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz}$

2. Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, còn mẫu số là tổng các chữ số của tử số.



#2
phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

1. $\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx} = \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}+\frac{7}{xy+yz+zx} \ge \frac{(1+2)^2}{(x+y+z)^2}+\frac{3.7}{(x+y+z)^2}=9+21=30.$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$


#3
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

 

2. Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, còn mẫu số là tổng các chữ số của tử số.

Gọi tử số là $abc$

Ta cần tìm max của $\frac{100a+10b+c}{a+b+c} = 1+ \frac{99a+9b}{a+b+c} $

Lúc này, để phân số lớn nhất thì $a+b+c$ nhỏ $=>$ ta cần chọn $c$ nhỏ nhất, chọn $c=0$ 

Khi đó $\frac{99a+9b}{a+b} = 9+ \frac{90a}{a+b} $ 

Lập luận tương tự $=> b=0$ 

Khi đó ta được số đó là $100;200;300;400;500;600;700;800;900$



#4
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

2. Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, còn mẫu số là tổng các chữ số của tử số.

$\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}\leq \frac{100a+100b+100c}{a+b+c}=100$

Dấu "=" xảy ra khi $b=c=0$.


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh