Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 thanhmylam

thanhmylam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh

Đã gửi 29-01-2016 - 11:21

1) Cho a,b,c thỏa mãn $a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$

2) Cho a,b,c thỏa mãn $a=\frac{2b^{2}}{1+b^{2}}, b=\frac{2c^{2}}{1+c^{2}}, c=\frac{2a^{2}}{1+a^{2}}$. Tính M=abc

3) Cho $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=-2, \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=0$, Tính M=$\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}$



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-01-2016 - 12:32

Xét $(a^3-3ab^2)^2+(b^3-3a^2b)^2=(a^2+b^2)^3=4913$ vậy $a^2+b^2=..$



#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-01-2016 - 12:59

3) Xét $(\sum \frac{x}{y})(\sum \frac{y}{x})=\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2}+3$ 
Suy ra $\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2}=-3$ 
Xét $(\sum \frac{x}{y})^3=\sum \frac{x^3}{y^3}+3.(\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2})+6=-8$ . Tính được $\sum \frac{x^3}{y^3}$



#4 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-01-2016 - 13:05

2) Từ giả thiết ta suy ra $a,b,c \ge 0$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$b^2+1 \ge 2b$ suy ra $a=\frac{2b^2}{b^2+1} \le b$ 
Tương tự $b \le c$  
$c \le a$ 
Suy ra $c \le b$ 
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ 
Khi đó $a=\frac{2a^2}{1+a^2}$ 
Suy ra $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=1$ 
Khi đó $M=1$ hoặc $M=0$



#5 uchihasasuke

uchihasasuke

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 29-01-2016 - 13:06

1) Cho a,b,c thỏa mãn $a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$

2) Cho a,b,c thỏa mãn $a=\frac{2b^{2}}{1+b^{2}}, b=\frac{2c^{2}}{1+c^{2}}, c=\frac{2a^{2}}{1+a^{2}}$. Tính M=abc

3) Cho $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=-2, \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=0$, Tính M=$\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}$

2.Ta có:

$abc=\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(1+a^{2})(1+b)^{2}(1+c^{2})} \Leftrightarrow 8abc=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

áp dụng AM-GM có:

$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq 8abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

vậy abc=1



#6 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-01-2016 - 13:09

2.Ta có:

$abc=\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(1+a^{2})(1+b)^{2}(1+c^{2})} \Leftrightarrow 8abc=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

áp dụng AM-GM có:

$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq 8abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

vậy abc=1

Thiếu một trường hợp rồi. Cách này chưa chặt chẽ đâu. Còn phải xét $abc=0$ nữa mới được như vậy nhé 



#7 uchihasasuke

uchihasasuke

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 29-01-2016 - 13:14

Thiếu một trường hợp rồi. Cách này chưa chặt chẽ đâu. Còn phải xét $abc=0$ nữa mới được như vậy nhé 

thanks






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh