Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyentaitue2001]

cho x^2+xy+y^2=3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A= x^2-xy+y^2

[lequangnghia]

cho x^2+xy+y^2=3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A= x^2-xy+y^2

Tổng quát:

từ giả thuyết suy ra

$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{3}}=\frac{A}{3}$

$\Rightarrow 3(x^{2}-xy+y^{2})=A(x^{2}+xy+y^{2})$

$\Rightarrow x^{2}(A-3)+xy(A+3)+y^{2}(A-3)=0$   (1)

Nếu $y=0$ thì $x=\sqrt{3}$ hay $x=-\sqrt{3}$

Với từng (x,y) bạn thay vào tìm giá trị A.   (2)

Với y khác 0

(1)$\Rightarrow (A-3)(\frac{x}{y})^{2}+(A+3)\frac{x}{y}+A-3=0$

Nếu $A=3$ ta giải tìm x,y

Nếu A khác 3

$\Delta =(A+3)^{2}-4(A-3)^{2}=-3A^{2}+30A-27\geq 0\Rightarrow 1\leq A\leq 9$

So sánh giá trị thu được của A tại (2), A=3 và $1\leq A\leq 9$ ta chọn max và min của A

[12345678987654321123456789]

$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy \Rightarrow \frac{3}{2}(x^2+y^2) \geq x^2+xy+y^2=3\Rightarrow x^2+y^2 \geq2$

$A \geq x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\geq \frac{2}{2}=1$

$\frac{x^2+y^2}{2}\geq -xy\Rightarrow -\frac{x^2+y^2}{2}\leq xy\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{2} \leq x^2+xy+y^2=3\Rightarrow x^2+y^2 \leq 6$

$A \leq x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{3}{2}(x^2+y^2)\leq\frac{3}{2}.6=9$

Vậy $\left\{\begin{matrix} Min A=1\\ Max A=9 \end{matrix}\right.$