Chủ đề này có 1 trả lời

[the man]

Chứng minh định lí Sylvester :

   Cho  $a,b\in \mathbb{N^*}, gcd(a,b)=1$ .

   Số  $N_0=ab-a-b$  là số lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng  $ax+by$  với  $x,y\in \mathbb{N}$.  

   Hơn nữa với mọi  $p,q \in \mathbb{Z}; p+q=N_0$  thì chỉ có đúng một trong hai số  $p, q$  biểu diễn được dưới dạng  $ax+by$  với   $x,y\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 08-01-2019 - 19:49

[HeilHitler]

Do $gcd(a,b)=1$ nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $x_0, y_0 \in N, x_0<b$ để $ax_0-by_0=1$. 

Gọi $N_0$ là số lớn nhất không thể biểu diễn thành $ax+by$. Ta có:

$N_0+1=au+bv$ (với $u,v \in N$)

$\Rightarrow N_0=au+bv-(ax_0-by_0)$

$\Rightarrow N_0=a(u-x_0)+b(v+y_0)=a(u+b-x_0)+b(v+y_0-a)$ (*)

Do tính chất không thể phân tích thành $ax+by$ của $N_0$ nên theo (*) suy ra $u-x_0<0$ và $v+y_0-a<0$  

Như vậy $N_0 \leq a(x_0-1)+b(a-y_0-1)-1=ab-a-b$.
Ta chỉ cần chỉ ra $ab-a-b$ không thể biểu diễn thành $ax+by$ nữa là đủ. <----(Đoạn này đang bí, tối về nghĩ tiếp :v)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 30-01-2016 - 20:01