Cho $(O;AB)$ ($AB$ cố định), $I$ là điểm nằm giữa $A$ và $O$ sao cho $AI=\frac{2}{3}AO$. Kẻ dây $MN$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Gọi $C$ là điểm tùy ý thuộc cung lớn $MN$ sao cho $C$ không trùng với $M,N$ và $B$. Nối $AC$ cắt $MN$ tại $E$
$a)$ Chứng minh tứ giác $IECB$ nội tiếp
$b)$ Chứng minh $AM^{2}=AE.AC$ và $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEC$
$c)$ Chứng minh $AE.AC-AI.IB=AI^{2}$
$d)$ Xác định vị trí của $C$ sao cho khoảng cách từ $N$ tới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ nhỏ nhất
a)
$\widehat{EIB}=\widehat{ECB}=90^{o}$ nên IEC nội tiếp
b)
Ta có $\widehat{MCA}$ bằng nữa số đo cung AM
$\widehat{AMI}$ bằng nữa số đo cung AN
Mà cung AN bằng cung AM nên $\widehat{MCA}=\widehat{MCA}$
$\Rightarrow \Delta AME\sim ACM$ $\Rightarrow AM^{2}=AE.AC$
ta có $\widehat{MCE}$ bằng nữa cung AM nên $\widehat{AME}$ bằng nữa cung ME nên $\widehat{AME}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây $\Rightarrow$ AM là tiếp tuyến
c) dễ thấy $AE.AC=AI.AB$ nên
$AE.AC-AI.IB=AI.AB-AI.IB=AI(AB-IB)=AI.AI=AI^{2}$
d) tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
AM là tiếp tuyến nên AM sẽ vuông góc với đường kính của (MEC) tại M mà AM vuông ME nên gọi T là tâm (MEC) thì T thuộc MB
NT min khi chỉ khi T là chân đường cao hạ từ N xuống MB
Solved
