Đến nội dung

Hình ảnh

x2+ax+b+1 có 2 nghiệm nguyên dương. Chứng minh a2+b2 là hợp số

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Laxus

Laxus

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

1. Giả sử PT: x2+ax+b+1 có 2 nghiệm nguyên dương. Chứng minh a2+b2 là hợp số

2. Cho PT: ax2+px-1=0 (p lẻ) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh nếu n là số tự nhiên thì x1n+x2và x1n+1+x2n+1 là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

3. Cho PT: x2+ax+b=0 và x2-cx+d=0

a,b,c,d thỏa mãn a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)>0

Chứng minh ít nhất 1 trong 2 PT có 2 nghiệm phân biệt

 


tumblr_n30f6yHnrB1qi39s1o3_500.gif

 

♠ PORTGAS D.ACE  ♠


#2
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

1. Giả sử PT: x2+ax+b+1 có 2 nghiệm nguyên dương. Chứng minh a2+b2 là hợp số

2. Cho PT: ax2+px-1=0 (p lẻ) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh nếu n là số tự nhiên thì x1n+x2và x1n+1+x2n+1 là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

3. Cho PT: x2+ax+b=0 và x2-cx+d=0

a,b,c,d thỏa mãn a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)>0

Chứng minh ít nhất 1 trong 2 PT có 2 nghiệm phân biệt

bài 2 vs 3 thầy chữa 1 lần rồi, bọn tau có mần rồi, còn câu 1 với 4 tịt rồi


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3
Laxus

Laxus

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

bài 2 vs 3 thầy chữa 1 lần rồi, bọn tau có mần rồi, còn câu 1 với 4 tịt rồi

bài 1 bựa thầy phú dạy rùi b2 b3 mần răng


tumblr_n30f6yHnrB1qi39s1o3_500.gif

 

♠ PORTGAS D.ACE  ♠


#4
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

bài 1 bựa thầy phú dạy rùi b2 b3 mần răng

t ko biết chỉ biết chép lại thôi :3 :3 dài dài


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Câu $2$ bỏ số $a$ đi 
Áp dụng định lí Vieta : 
$\begin{cases} &x_1+x_2=-p&\\&x_1x_2=-1& \end{cases}$ 
Ta thấy $S_0=2,S_1=-p,S_2=p^2+2$ . Chứng minh được $S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n$ với mọi $n \in {N}$ 
Từ đó suy ra $S_n \in {Z}$ với mọi $n \in {N}$ 
Đặt $gcd(S_{n+2},S_{n+1})=d \Rightarrow S_n \vdots d \Rightarrow ... \Rightarrow S_1 \vdots d \Rightarrow S_0 \vdots d$ mà $p$ lẻ thì :
$gcd(S_0,S_1)=1$ suy ra $d=1$ 
$\Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 31-01-2016 - 20:29


#6
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

1. Giả sử PT: x2+ax+b+1 có 2 nghiệm nguyên dương. Chứng minh a2+b2 là hợp số

2. Cho PT: ax2+px-1=0 (p lẻ) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh nếu n là số tự nhiên thì x1n+x2và x1n+1+x2n+1 là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

3. Cho PT: x2+ax+b=0 và x2-cx+d=0

a,b,c,d thỏa mãn a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)>0

Chứng minh ít nhất 1 trong 2 PT có 2 nghiệm phân biệt

1) Áp dụng định lí Vieta : 
$x_1+x_2=-a,x_1x_2=b+1$ suy ra $a,b \in Z$ 
Ta có $a^2+b^2=(x_1+x_2)^2+(x_1x_2-1)^2=(x_1^2+1)(x_2^2+1)$ 
Bây giờ chứng minh $x_1,x_2 \ge 1$ là xong 



#7
le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Câu 3 phải là $x^2-cx-d=0$ chứ :D

Ta có $(a+c)^2\geq 0= > a^2+c^2\geq -2ac$

$=>2(a^2-4b+c^2+4d)\geq a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)$

$=>(a^2-4b)+(c^2+4d)>0$

=> Ít nhất 1 trong 2pt phảo có 2 ngiệm phân biệt


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 31-01-2016 - 23:49


#8
Laxus

Laxus

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Câu $2$ bỏ số $a$ đi 
Áp dụng định lí Vieta : 
$\begin{cases} &x_1+x_2=-p&\\&x_1x_2=-1& \end{cases}$ 
Ta thấy $S_0=2,S_1=-p,S_2=p^2+2$ . Chứng minh được $S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n$ với mọi $n \in {N}$ 
Từ đó suy ra $S_n \in {Z}$ với mọi $n \in {N}$ 
Đặt $gcd(S_{n+2},S_{n+1})=d \Rightarrow S_n \vdots d \Rightarrow ... \Rightarrow S_1 \vdots d \Rightarrow S_0 \vdots d$ mà $p$ lẻ thì :
$gcd(S_0,S_1)=1$ suy ra $d=1$ 
$\Rightarrow Q.E.D$

cho mình hỏi S0 là j và sao lại =2 đc ko


tumblr_n30f6yHnrB1qi39s1o3_500.gif

 

♠ PORTGAS D.ACE  ♠


#9
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

cho mình hỏi S0 là j và sao lại =2 đc ko

p lẻ mà ?

#10
punnguyen

punnguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

p lẻ mà ?

p lẻ thì liên quan gì vs S(0)=2 vậy






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh