Chủ đề này có 2 trả lời

[the man]

Bài toán: Tìm $k$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương:

$$(x+y+z+t)^2=kxyzt$$

Spoiler

P/s: bài này mình dùng Vieta Jumping nhưng xét đến ít nhất 15 trường hợp lận.

      Ai có lời giải ngắn gọn thì post mình tham khảo nhé      

[I Love MC]

Tham khảo lời giải mấy bác trên này thử VMO 2002 
Hoặc của Juliel's blog 
 

[I Love MC]

Hình như Vieta Jumping có lẽ cách duy nhất 
Một bài toán khác trong tài liệu của thầy Dũng : 
Mất biến $t$ 
Bài toán : Tìm $k$ nguyên dương để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 
$(x+y+z)^2=kxyz$ 
Solution : 
Giả sử $k$ là một giá trị cần tìm . Gọi $x_0,y_0,z_0$ là nghiệm của nó và $x_0+y_0+z_0$ min 
Không giảm tính tổng quát giả sử $x_0 \ge y_0 \ge z_0$ 
Phương trình viết lại trở thành : $x^2-(kyz-2y-2z)x+(y+z)^2=0$ (*)
Suy ra $x_0$ là nghiệm của phương trình : $x^2-(ky_0z_0-2y_0-2z_0)x+(y_0+z_0)^2=0$  (**)
Theo định lí Viet :  
$x_1=ky_0z_0-2y_0-2z_0-x_0=\frac{(y_0+z_0)^2}{x_0}$ cũng là nghiệm của (**)  
Từ đó $(x_1,y_0,z_0)$ là nghiệm của (*) và $x_1 \in \mathbb{N^*}$  
Ta có $ky_0z_0-2y_0-2z_0-x_0 \ge x_0$ và $\frac{(y_0+z_0)^2}{x_0} \ge x_0$  
Hay $y_0+z_0 \ge x_0 \Rightarrow ky_0z_0 \ge 4x_0$ 
Chia $2$ vế của phương trình $\sum x_0^2+2(\sum x_0y_0)=kx_0y_0z_0$ cho $x_0y_0z_0$ cho ta : 
$\sum \frac{x_0}{y_0z_0}+\sum \frac{2}{x_0}=k$ 
Suy ra $k \le 10$
Xét TH 
$3$ biến đã dài không biết $4$ biến ra sao :l 
Nhưng chỉ cần chỉ ra cặp nghiệm là ok thôi a