Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
#1
Đã gửi 01-02-2016 - 18:04
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
#2
Đã gửi 01-02-2016 - 18:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
Đối với dạng bài tập này, ta thấy dấu cần chứng minh là $\leq$ thì nên "để ý" ở phần mẫu, thường thường là sử dụng bđt bu-nhi (kinh nghiệm cá nhân)
Ta có:
$(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+b^2+a^2)(a^2+a^2+c^2)\geq (a^2+ab+ac)^2=a^2(a+b+c)^2=9a^2$
Tương tự ta đc:
$(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)\geq 9b^2$
$(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)\geq 9c^2$
Khi đó ta có:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \sum \frac{a^3}{9a^2}=\sum \frac{a}{9}=\frac{1}{3}$
$dpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 01-02-2016 - 18:19
- tpdtthltvp, Minhnguyenthe333, Tuituki và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-02-2016 - 18:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$
Đã có tại đây
- Minhnguyenthe333 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh