Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leqslant \frac{1}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$

#2
haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$

Đối với dạng bài tập này, ta thấy dấu cần chứng minh là $\leq$ thì nên "để ý" ở phần mẫu, thường thường là sử dụng bđt bu-nhi (kinh nghiệm cá nhân)

Ta có:

$(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+b^2+a^2)(a^2+a^2+c^2)\geq (a^2+ab+ac)^2=a^2(a+b+c)^2=9a^2$

Tương tự ta đc:

$(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)\geq 9b^2$

$(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)\geq 9c^2$

Khi đó ta có:

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \sum \frac{a^3}{9a^2}=\sum \frac{a}{9}=\frac{1}{3}$

$dpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 01-02-2016 - 18:19

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#3
quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$

Đã có tại đây






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh