Cho tam giác ABC, đường cao AH. M,N lần lượt là trung điểm AB,AC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E. Chứng minh rằng tứ giác AMEN nội tiếp và HE đi qua trung điểm MN.
Cho tam giác ABC, đường cao AH. M,N lần lượt là trung điểm AB,AC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E. Chứn
Bắt đầu bởi nguyenchithanh1199, 01-02-2016 - 20:05
#2
Đã gửi 01-02-2016 - 22:13
lequangnghia
-
- Thành viên
-
- 84 Bài viết
Hạ sĩ
Cho tam giác ABC, đường cao AH. M,N lần lượt là trung điểm AB,AC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E. Chứng minh rằng tứ giác AMEN nội tiếp và HE đi qua trung điểm MN.
Ta có $\widehat{AME}=\widehat{EHB}$ ( do MEHB nội tiếp)
$\widehat{EHB}=\widehat{ENC}$ ( HENC nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{ENC}$
Vậy AMEN nội tiếp
Ta có M, N là trung điểm AB, AC nên MN song song BC nên
$\widehat{NMH}=\widehat{MHB}$ ( MN song song BC)
$\widehat{MHB}=\widehat{MBH}$ ( tam giác BMH cân ở M)
nên$\widehat{MBH}\widehat{NMH}$
mà $\widehat{MBH}$ bằng nữa số đo cung MH nên $\widehat{NMH} bằng nữa số đo cung MH
vậy $\widehat{NMH} là góc tạo bởi tiếp tuyến bởi dây cung. suy ra MN là tiếp tuyến của (MBH)
Tương tự MN là tiếp tuyến của (NHC)
Gọi K là giao điểm của EH và MN
Ta có $MK^{2}=KE.KH$
$NK^{2}=KE.KH$
suy ra MK=KN. có nghĩa là HE đi qua trung điểm MN
- nguyenchithanh1199 yêu thích
Best teacher of seaver sea
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
