Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}2 &-1 &0 \\ -1&2 &-1 \\ 0&-1 &2 \end{pmatrix}$
Chứng minh rằng: Mỗi ma trận $B$ sao cho $AB=BA$ có dạng $B=aI+bA+cA^2,$
#1
Đã gửi 02-02-2016 - 19:44
- Bui Ba Anh yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 07-02-2016 - 11:28
Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}2 &-1 &0 \\ -1&2 &-1 \\ 0&-1 &2 \end{pmatrix}$
Chứng minh rằng: Mỗi ma trận $B$ sao cho $AB=BA$ có dạng$$B=aI+bA+cA^2,$$Với a,b,c là các số thực nào đó.
Thực hiện đồng nhất $AB=BA$, ta thu được
\[b_{2,1}=b_{2,3}=b_{3,2}=b_{1,2}=a',\]
\[b_{1,3}=b_{3,1}=b',\]
\[b_{3,3}=b_{1,1}=c',\]
\[b_{2,2}=b_{1,1}+b_{1,3}=b'+c'.\]
Với mỗi bộ $(a',b',c')$ tương ứng 1 một với bộ $(a,b,c)$ thỏa $ c'=a+2b+5c,\, a'=-b-4c,\, b'=c.$
Khi đó $B=aI_3+bA+cA^2$.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu có đánh giá số chiều của không gian vector $\{B\in M_3(\mathbb{R}): AB=BA\}$ thì ta có thể chứng minh dễ dàng hơn thay vì phải khai triển tường minh cho đẳng thức $AB=BA$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 07-02-2016 - 11:46
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 01-02-2019 - 15:37
Tổng quát: Cho A là 1 ma trận vuông có n gtr đôi 1 phân biệt thì
mọi ma trận B thoả mãn AB=BA <=> B biểu diễn đc dưới dạng 1 đa thức của A
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh