Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :

 $P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :

 $\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$


                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :

 $P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

 

Vì $xyz=1$ nên ta đổi biến $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

Dự đoán $MinP=\frac{3}{\sqrt{2}}$ nên ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành:

$\sum \sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Tuy nhiên,đây là 1 bất đẳng thức khá quen thuộc của Vasile (Anh có thế xem chứng minh ở đây)

Vậy ta tìm được $MinP=\frac{3}{\sqrt{2}}$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-02-2016 - 00:32


#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

 

2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :

 $\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:

$(a^2+bc+ca)(b^2+bc+ca) \geq (ab+bc+ca)^2$

 

$VT=\sum \frac{ab(b^2+bc+ca)}{(a^2+bc+ca)(b^2+bc+ca)} \leq \sum \frac{\sum ab^3+2abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}$

 

Vậy để kết thúc bài toán ta chỉ cần chứng minh:

 

$\frac{\sum ab^3+2abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

 

$\leftrightarrow \sum ab^3+2abc(a+b+c) \leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$

 

$\leftrightarrow  abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$

 

$\leftrightarrow  a+b+c \leq  \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}$

 

Tuy nhiên đánh giá trên đúng theo bđt Cauchy-Swarchz 

 

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-02-2016 - 00:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh