Chủ đề này có 5 trả lời

[SuperLinh]

Bài 1: Cho $a; b; c> 0$. Chứng minh:

a. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

b. $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

Bài 2: 

a. Tìm nghiệm hữu tỉ của pt $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$

b. Giải pt nghiệm nguyên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$

Bài 3: Cho $x; y; z>0$, $x+y+z=1$. CMR $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+yx}> 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

[lequangnghia]

Bài 1: Cho $a; b; c> 0$. Chứng minh:

a. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Ta có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

Nhân theo vế ta có: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

[Kira Tatsuya]

Bài 3: Cho $x; y; z>0$, $x+y+z=1$. CMR $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+yx}> 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sum x+\sqrt{yz}$ (đánh giá cuối sử dụng bunhia)

tương tự như vậy, ta được :$\sum \sqrt{x+yz}\geq x+y+z +\sum \sqrt{yz}=1 +\sum \sqrt{yz}$ (dpcm)

[Kira Tatsuya]

Bài 1: Cho $a; b; c> 0$. Chứng minh:

b. $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

 

$\frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{ab}{9}\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b} \right )\\ \frac{bc}{b+3c+2a}\leq \frac{bc}{9}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c} \right )\\ \frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{ac}{9}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a} \right )\\$

Cộng vế theo vế , ta được 

$VT \leq \frac{a+b+c}{9}+\frac{a+b+c}{18}\leq \frac{a+b+c}{6}$ phần cuối gôm mấy phân thức chung mẫu rồi cộng lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 04-02-2016 - 09:15

[12345678987654321123456789]

Bài 2: 

b. Giải pt nghiệm nguyên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$

$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3x+3y-xy=0\Leftrightarrow (x-3)(y-3)=-9$

Đến đây dễ rồi :v

[12345678987654321123456789]

Bài 1: Cho $a; b; c> 0$. Chứng minh:

a. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

b. $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

a) Điều cần chứng minh tương đương với :

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq9\Leftrightarrow 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\geq 9$

Mà theo AM-GM thì điều này đúng -> đpcm.

b) Áp dụng câu a như bạn @Kira Tatsuya