Chủ đề này có 1 trả lời

[lequangnghia]

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

[Ankh]

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

 Đổi biến $(a,b,c)=(x^{-1},y^{-1},z^{-1})$, bất đẳng thức tương đương $\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3(xy+yz+zx)}(xy+yz+zx)^2}{4(x+y+z)^3}$

 Áp dungj Cauchy-Schwarz $\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2}\geq \dfrac{\left (\sum xy\right )^2}{2\sum x^2+2\sum xy}$

 Đặt $a=x^2+y^2+z^2,\ b=xy+yz+zx$ thì ta sẽ chỉ cần chứng minh $\dfrac{b^2}{a+b}\geq \dfrac{3\sqrt{3b}b^2}{2\sqrt{(a+2b)^3}}$

 Tương đương với $4(a+2b)^3\geq 27b(a+b)^2\Leftrightarrow (a-b)^2(4a+5b)\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 02-04-2016 - 20:20