Đến nội dung

Hình ảnh

PQ // BC, MPIQ nội tiếp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
NoEmotion

NoEmotion

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

CHo tam giác ABC cân tại A, góc A < 90 độ, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK , H là giao điểm của MC, IH.

a) Chứng minh MPIQ nội tiếp và PQ // BC.

d) Gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K. (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. N là giao điểm thứ 2 của (O1), (O2) và D là trung điểm BC. Chứng minh M, N ,D thẳng hàng 



#2
NoEmotion

NoEmotion

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

CHo tam giác ABC cân tại A, góc A < 90 độ, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK , H là giao điểm của MC, IH.

a) Chứng minh MPIQ nội tiếp và PQ // BC.

d) Gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K. (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. N là giao điểm thứ 2 của (O1), (O2) và D là trung điểm BC. Chứng minh M, N ,D thẳng hàng 



#3
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết

-------------------

Hình gửi kèm

  • Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK , H là giao điểm của MC, IH.  a) Chứng minh MPIQ nội tiếp và PQ ss BC.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 04-02-2016 - 22:24


#4
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết

CHo tam giác ABC cân tại A, góc A < 90 độ, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK , H là giao điểm của MC, IH.

a) Chứng minh MPIQ nội tiếp và PQ // BC.

d) Gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K. (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. N là giao điểm thứ 2 của (O1), (O2) và D là trung điểm BC. Chứng minh M, N ,D thẳng hàng 

a)
Gọi F là giao điểm của đường vuông góc AB tại B với đường vuông góc AC tại C
có F là tâm của cung tròn
Ta có $\widehat{MIK} =\widehat{MBK}$ (vì MKBI nội tiếp)
$=\frac{1}{2}\widehat{MFB}$
tương tự $\widehat{MIH} =\frac{1}{2}\widehat{MFC}$
=>$\widehat{MFB} +\widehat{MFC} =2.(\widehat{MIK} +\widehat{MIH})$
$=2.\widehat{PIQ}$ (1)
mặt khác $\widehat{MFB} +\widehat{MFC}$
$=(180^\circ -2 .\widehat{FMB}) +(180^\circ -2 .\widehat{FMC}) $
$=360^\circ -2 .\widehat{PMQ}$ (2)
từ (1, 2) =>$\widehat{PIQ} =180^\circ -\widehat{PMQ}$
=>MPIQ nội tiếp (đpcm)
có $\widehat{MPQ} =\widehat{MIQ}$ (vì MPIQ nội tiếp)
$=\widehat{MCH}$ (vì MICH nội tiếp)
$=\widehat{MBC}$ (2 góc cùng chắn cung MC)
=>PQ //BC (đpcm)
b)
gọi E là giao điểm MN với PQ
ta có $\widehat{MPQ} =\widehat{MBC} =\widehat{MKP}$ (vì MKBI nội tiếp)
=>EP là tiếp tuyến ($O_1$)
=>$\triangle EMP \sim\triangle EPN$ (g, g)
=>$\frac{EM}{EP} =\frac{EP}{EN}$
<=>$EP^2 =EM .EN$ (3 )
chứng minh tương tự, có $EQ^2 =EM .EN $(4)
từ (3, 4) =>E là trung điểm PQ (5)
gọi D' là giao điểm MN với BC
ta có $\frac{EP}{D'B} =\frac{ME}{MD'} =\frac{EQ}{D'C}$ (6)
từ (5, 6) =>D'B =D'C
=>D' trùng D =>đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh