Chủ đề này có 5 trả lời

[hoilamchi]

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq \sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}$

Đừng dùng pp biến đổi tương đương nhé !!!

[Nhok Tung]

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$VT=(a+b)^{2}+2(a^{2}+b^{2})\geqslant 2\sqrt{(a+b)^{2}.2(a^{2}+b^{2})}\doteq 2(a+b)\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

[12345678987654321123456789]

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq \sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}$

Đừng dùng pp biến đổi tương đương nhé !!!

$\Leftrightarrow \frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}-\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{a^2+b^2}{2}-ab}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}-\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2\left ( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab} \right )}-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\geq0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\left ( \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}} -\frac{1}{a+b}\right )\geq0$

$\Leftrightarrow 2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab}\geq0$ (do $(a-b)^2$ không âm và mẫu thức dương)

$\Leftrightarrow a+b-\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b-2\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow -\frac{(a-b)^2}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}+\frac{(a-b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\geq0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\left ( \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)+a+b}} \right )\geq0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b-(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq 0$ (do $(a-b)^2$ không âm và mẫu thức dương)

$\Leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{2(a^2+b^2)-4ab}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}\geq0$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq0$ (do mẫu thức dương)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 04-02-2016 - 19:12

[hoilamchi]

$\Leftrightarrow \frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}-\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{a^2+b^2}{2}-ab}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}-\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2\left ( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab} \right )}-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\geq0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\left ( \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}} -\frac{1}{a+b}\right )\geq0$

$\Leftrightarrow 2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab}\geq0$ (do $(a-b)^2$ không âm và mẫu thức dương)

$\Leftrightarrow a+b-\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b-2\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow -\frac{(a-b)^2}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}+\frac{(a-b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\geq0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\left ( \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)+a+b}} \right )\geq0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b-(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq 0$ (do $(a-b)^2$ không âm và mẫu thức dương)

$\Leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab}\geq0$

$\Leftrightarrow \frac{2(a^2+b^2)-4ab}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}\geq0$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq0$ (do mẫu thức dương)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có đpcm

Có cách nào không cần biến đổi tương đương dài dòng không bạn

[12345678987654321123456789]

Có cách nào không cần biến đổi tương đương dài dòng không bạn

Ban đầu mình đọc cái đề tưởng rằng phải dùng biến đổi tương đương, nên mới làm vậy, làm xong rồi mình định làm lại nhưng lại bị vướng :

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}$ (Bất đẳng thức này đúng)

Nên ta chỉ cần chứng minh : $\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$

Mà bất đẳng thức trên vô lí với mọi $a,b>0$ (?!)

Nên mình vẫn còn đang nghĩ bài này, bạn thông cảm

[KietLW9]

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta thu được:

$(a-b)^4\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b$