Edited by Minhnguyenthe333, 05-02-2016 - 23:06.
CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$
#1
Posted 05-02-2016 - 17:08
#2
Posted 05-02-2016 - 17:38
Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ....\leqslant a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$
Phần này phải đăng ở số học chứ nhỉ ?
- Liquid likes this
#3
Posted 05-02-2016 - 17:45
Em là vế phải, có gì sai anh chỉ bảo :v
Giả sử trái với điều phải chứng minh, tức là không tồn tại $a_i$ và $a_j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ sao cho $a_i-a_j<2n$, hay với mọi $i,j(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ ta luôn có
$a_i-a_j\geq2n\Leftrightarrow 2n+a_j \leq a_i \leq 3n\Leftrightarrow a_j \leq n \Leftrightarrow 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq...\leq a_{n+1}\leq n$
Do đó $n+1$ số $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ sẽ nhận giá trị bất kì trong $\left[1;n\right]$, theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại $i$ và $j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+1)$ sao cho $a_i=a_j$, suy ra $a_i-a_j=0<2n$, trái với giả sử, nên có điều phải chứng minh
Edited by 12345678987654321123456789, 05-02-2016 - 17:48.
- Minhnguyenthe333 likes this
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
#4
Posted 05-02-2016 - 18:13
Em là vế phải, có gì sai anh chỉ bảo :v
Giả sử trái với điều phải chứng minh, tức là không tồn tại $a_i$ và $a_j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ sao cho $a_i-a_j<2n$, hay với mọi $i,j(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ ta luôn có
$a_i-a_j\geq2n\Leftrightarrow 2n+a_j \leq a_i \leq 3n\Leftrightarrow a_j \leq n \Leftrightarrow 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq...\leq a_{n+1}\leq n$
Do đó $n+1$ số $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ sẽ nhận giá trị bất kì trong $\left[1;n\right]$, theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại $i$ và $j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+1)$ sao cho $a_i=a_j$, suy ra $a_i-a_j=0<2n$, trái với giả sử, nên có điều phải chứng minh
Thật chứ ? Trong $4$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4$ không tồn tại hai số nào bằng nhau cả ?
#5
Posted 05-02-2016 - 18:27
Thật chứ ? Trong $4$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4$ không tồn tại hai số nào bằng nhau cả ?
Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?
Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy 5 số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.
- Minhnguyenthe333 likes this
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
#6
Posted 05-02-2016 - 18:32
Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?
Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy 5 số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.
Vậy thì $2=3$ hay $2=4$ . Đọc kĩ lại Dirichlet nhé
#7
Posted 05-02-2016 - 18:54
Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ....\leqslant a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$
$n=3$
$a_1=a_2=a_3$
$0>n$
#8
Posted 05-02-2016 - 19:08
Vậy thì $2=3$ hay $2=4$ . Đọc kĩ lại Dirichlet nhé
Em nghĩ là bác chưa hiểu ý em, hoặc là em chưa hiểu ý bác.
Giả sử $1 \leq a \leq 4;\;1\leq b \leq 4;\;1\leq c\leq 4;\;1\leq d \leq 4;\;1\leq e \leq 4$ với $a,b,c,d,e$ là các số tự nhiên.
Thì chắc chắn trong $a,b,c,d,e$ phải có 2 số bằng nhau vì nếu không thì :
Không mất tính tổng quát, giả sử : $1 \leq a<b<c<d<e \leq 4$
Vì các số này đều là số tự nhiên nên $\left\{\begin{matrix} a\leq b-1\\ b \leq c-1\\ c \leq d-1\\ d \leq e-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a \leq b-1 \leq c-2 \leq d-3 \leq e-4 \leq 4-4=0$ (vô lí)
P/s :
Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?
Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy 5 số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.
Cái câu này của em nói mơ hồ thật, mà em cũng không biết nói sao cho đúng nữa
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
#9
Posted 05-02-2016 - 21:02
Em nghĩ là bác chưa hiểu ý em, hoặc là em chưa hiểu ý bác.
Giả sử $1 \leq a \leq 4;\;1\leq b \leq 4;\;1\leq c\leq 4;\;1\leq d \leq 4;\;1\leq e \leq 4$ với $a,b,c,d,e$ là các số tự nhiên.
Thì chắc chắn trong $a,b,c,d,e$ phải có 2 số bằng nhau vì nếu không thì :
Không mất tính tổng quát, giả sử : $1 \leq a<b<c<d<e \leq 4$
Vì các số này đều là số tự nhiên nên $\left\{\begin{matrix} a\leq b-1\\ b \leq c-1\\ c \leq d-1\\ d \leq e-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a \leq b-1 \leq c-2 \leq d-3 \leq e-4 \leq 4-4=0$ (vô lí)
P/s :
Cái câu này của em nói mơ hồ thật, mà em cũng không biết nói sao cho đúng nữa
Mà đề sai rồi bác ko cần nói nữa đâu
#10
Posted 05-02-2016 - 22:29
Mà đề sai rồi bác ko cần nói nữa đâu
Đề đúng chứ sai gì
#11
Posted 05-02-2016 - 22:32
#12
Posted 05-02-2016 - 22:59
Vậy mình sửa lại đk ở đề bàiGiả sử các số đó đều bằng nhau ? $0>n$
#13
Posted 06-02-2016 - 08:58
Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$
Giả sử ta cho $n=2$ tức ta sẽ có $4$ số nguyên dương $a_1,a_2,..,a_4$
Giả sử ta cho $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4$
Vậy thì sẽ tồn tại đâu ra hai số $a_i,a_j$ để $a_i-a_j>4$
Đề phải chặt hơn chứ ?
#16
Posted 11-02-2016 - 15:28
Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$
- Với mọi k đặt $b_i=a_i +k$ thì $a_i - a_j= b_i - b_j$ $(*)$
Chọn k sao cho $b_{n+2}=3n$ và xét dãy số $1\leq b_1< b_2 < ... < b_{n+2} = 3n $
Xét 2 trường hợp
TH1: Nếu tồn tại j sao cho $n<b_j<2n$ thì ta có ngay $n<b_{n+2}-b_j <2n$
TH2: Nếu không có $b_j$ nào thuộc đoạn $[n+1; 2n-1]$ thì các số $b_1;...;b_{n+1}$ có mặt ở các cặp số : $(1,2n) ; (2,2n+1) ; ...; (n;3n-1)$
Do $n+1>n$ nên tồn tại 2 số $b_i$ và $b_j$ ( $j <i$ )thuộc cùng một cặp chẳng hạn cặp $( t ; 2n+t-1)$ hay $n<b_i-b_j=2n+t-1-t=2n-1<2n$
Như vậy ta hoàn toàn tìm được cặp $b_i; b_j$ thỏa mãn đề bài hay kéo theo cặp $(a_i;a_j)$ thỏa mãn
- Minhnguyenthe333 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users