Chủ đề này có 2 trả lời

[skykute]

\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skykute: 05-02-2016 - 19:20

[nguyentaitue2001]

\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}

Sai latex hay sao ĩ bạn 

[Kira Tatsuya]

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}$

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$\sum \frac{a^4}{b^2}+\sum a^2\geq 2\sum \sqrt{\frac{a^6}{b^2}}\geq 2\sum \frac{a^3}{b} \\\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{b^2}\geq 2\sum \frac{a^3}{b}- \sum a^2$

Ta chỉ cần chứng minh :

$2\sum \frac{a^3}{b}-\sum a^2\geq \sum \frac{a^3}{b}\\\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

Thật vậy :

$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{a^4} \geq 2a^2;$ tương tự , ta được :

$\sum \frac{a^3}{b}\geq 2\sum a^2 -\sum ab \geq \sum a^2$

bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có dpcm