Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$
#1
Đã gửi 07-02-2016 - 18:34
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 08-02-2016 - 15:00
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$
Bài giải:
Ta có
$$t=x^3\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{3t}dt\Rightarrow 3I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx$$
$$3I+\frac{\pi^2}{12}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{2x^2}d(x^2)=\frac{3I}{2}$$
$$\Rightarrow I=-\frac{\pi^2}{18}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 08-02-2016 - 18:59
- E. Galois yêu thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
