Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Chứng minh bất đẳng thức sau

$$\begin{vmatrix}1 &1  &...  &1 \\ x_1 &x_2  &...  &x_n \\ ... &...  &...  &... \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1}  &...  &x_n^{n-1} \end{vmatrix}\le \left[\frac{2}{n-1}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2) \right ]^{\frac{n(n-1)}{4}}$$

[An Infinitesimal]

Định thức vế trái là định thức Vandermonde. Giá trị của định thức này có thể tham khảo

https://proofwiki.or...nde_Determinant.

Lần lượt áp dụng BĐT Cauchy cho $\frac{(n-1)n}{2}$ số, ta có

$$VT =\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i) \le \left(\frac{2}{n(n-1)}\sum_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)^2\right)^{\frac{(n(n-1)}{4}}.$$ 

 

Nhận xét:

• 
  $$\sum_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)^2 =(n-1) \sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j .$$
   
• 
  

  $$\left(\sum_{1\le i\le n} x_i\right)^2 =\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j .$$

 

Do đó 

$$\sum_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)^2 =n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\left(\sum_{1\le i\le n} x_i\right)^2 \le n\sum_{i=1}^{n}x_i^2.$$

 

 

 

Suy ra ĐPCM.

 

-------------

@

Ispectorgadget:

Định thức Vandermonde liên quan đến vài ứng dụng gần gủi. Và đánh giá trên có ý nghĩa gì?- Cảm ơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 10-02-2016 - 15:00