Đến nội dung

Hình ảnh

$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
lequangnghia

lequangnghia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$


Best teacher of seaver sea


#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

Đặt $x=ab, y=bc, z=ca\Rightarrow a=\sqrt{\frac{zx}{y}}, b=\sqrt{\frac{xy}{z}}, c=\sqrt{\frac{yz}{x}}$

$\Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx$

Khi đó ta cm: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 27$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ $\Leftrightarrow 2(\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}})+\frac{3\sqrt{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)^{2}}\geq 3\sqrt{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{(x+y+z)^{2}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}x}{x+y+z}$

Tương tự cộng lại ta được:

$VT\geq 3\sqrt{3}(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z})=3\sqrt{3}$(đpcm)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

; ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$ => $abc(a+b+c)=ab+bc+ac$
ta có $P=(ab+bc+ac)(ab+bc+ac+2abc(a+b+c))=3(ab+bc+ac)^2$ 
Dễ dàng chứng minh được $abc(a+b+c)\geq \frac{(ab+bc+ac)^{2}}{3}$ => $ab+bc+ac \leq 3$

=>$P\leq 27$ 

P/s : Xin Lỗi  Mọi người post xong mới thấy sai giờ  k biết xóa sao 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 11-02-2016 - 08:56

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh