Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum\sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 lhplyn

lhplyn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:IT

Đã gửi 11-02-2016 - 15:37

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :

 $\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$


fromk96e1lhpnd  :like


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 11-02-2016 - 15:45

BĐT chứng minh tương đương với : 
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$  
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$ 
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$



#3 Kira Tatsuya

Kira Tatsuya

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 11-02-2016 - 15:48

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :

 $\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$

Biến đổi :$\sqrt{\frac{1}{a}-1}=\sqrt{\frac{a+b+c}{a}-1}=\sqrt{\frac{b+c}{a}}$ .

Tương tự, ta được :

$\sum \sqrt{\frac{(b+c)(c+a)}{ab}}\geq 6\\\Leftrightarrow \sum \sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq6\sqrt{abc}$

Áp dụng $Cauchy$ cho 3 số, ta có :$VT\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}(b+c)(c+a)(a+b)}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}.8\sqrt{bc}.\sqrt{ca}.\sqrt{ab}}\geq6\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^3}\geq6\sqrt{abc}$ 

(đúng)

p/s:châm tay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 11-02-2016 - 15:51

----HIKKIGAYA HACHIMAN----

"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"


#4 lhplyn

lhplyn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:IT

Đã gửi 11-02-2016 - 16:17

BĐT chứng minh tương đương với : 
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$  
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$ 
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$

Cảm ơn ak :)


fromk96e1lhpnd  :like






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh