Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Hero]

1,       Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$

         

     CMR:    $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

 

2,     Cho $a,b,c> 0$. Tìm GTNN của:

 

  $P=\frac{(a+b)^{2}}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c)^{2}}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a)^{2}}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

[phamngochung9a]

1.

 

1,       Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$

         

     CMR:    $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

 

2,     Cho $a,b,c> 0$. Tìm GTNN của:

 

  $P=\frac{(a+b)^{2}}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c)^{2}}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a)^{2}}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

1.

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{a}=x & & \\ \sqrt{b}=y & & \\ \sqrt{c}=z & & \end{matrix}\right.$

Ta có:

$VT=\sum \frac{x^{4}}{x^{2}+\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}}\leq \sum \frac{x^{4}}{x^{2}+xy+yz}=\sum \frac{x^{3}}{x+y+z}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{x^{3}}{x+y+z}\leq 1\Leftrightarrow x+y+z\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}$

Lại đặt

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=p & & \\ xy+yz+zx=q & & \\ xyz=r & & \end{matrix}\right.$.

Ta có:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(z+x)\\=(x+y+z)^{3}-3\left [ (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz \right ]\\=p^{3}-3pq+3r$

Ta cần chứng minh:

$p\geq p^{3}-3pq+3r\Leftrightarrow$ $p-p^{3}+3pq-3r$$\geq 0$

 

Theo AM-GM, ta có:  $r\leq \frac{p^{3}}{27}$

$\Rightarrow p-p^{3}+3pq-3r\geq p-p^{3}+3pq-\frac{p^{3}}{9}=p-\frac{10}{9}p^{3}+3pq$

 

Từ giả thiết, dễ thấy: $3+14q=5p^{2}\\\Rightarrow p-\frac{10}{9}p^{3}+3pq=p-\frac{10}{9}p^{3}+3p.\frac{5p^{2}-3}{14}$ 

Vậy ta cần chứng minh:

$p-\frac{10}{9}p^{3}+3p.\frac{5p^{2}-3}{14}\geq 0\\\Leftrightarrow -p^{3}+9p\geq 0\\\Leftrightarrow p(3-p)(p+3)\geq 0(*)$  

Vì $5p^{2}=14q+3\Rightarrow 5p^{2}\leq \frac{14}{3}p^{2}+3\Rightarrow p\leq 3$

Vậy (*) luôn đúng, ta có ĐPCM

 

P.s: Hix... , gõ mỏi hết cả tay. Chỉ biết cái cách lôi thôi dài dòng cùi bắp này thui 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-02-2016 - 09:48

[phamngochung9a]

2,     Cho $a,b,c> 0$. Tìm GTNN của:

 

  $P=\frac{(a+b)^{2}}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c)^{2}}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a)^{2}}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

2) Dễ xơi hơn 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & & \\ b+c=y & & \\ c+a=z & & \end{matrix}\right.$

Ta có:

$P= \sum \frac{x^{2}}{(y+2z)(2y+z)}\geq 4.\sum \frac{x^{2}}{9(y+z)^{2}}=\frac{4}{9}\sum \frac{x^{2}}{(y+z)^{2}}\geq \frac{4}{27}.\left ( \sum \frac{x}{y+z} \right )^{2}\geq \frac{4}{27}.\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{3}$

 

(chú ý $\sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$ theo BĐT Nesbit)

 

Mở rộng:  Ta có thể chứng minh BĐT chặt hơn như sau:

$\frac{(a+b)^{2}}{(2a+3b+c)(a+3b+2c)}+\frac{(b+c)^{2}}{(2b+3c+a)(b+3c+2a)}+\frac{(c+a)^{2}}{(2c+3a+b)(c+3a+2b)}\geq \frac{1}{3}$, bạn thử chứng minh xem 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-02-2016 - 09:46