Chủ đề này có 1 trả lời

[Mai Pham]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}-3a-3b^{2}+2=0 & & \\ \sqrt{a-2}+\sqrt{a^{3}-3a^{2}+b+2}=a^{2}-3b & & \end{matrix}\right.$

 

[leminhnghiatt]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}-3a-3b^{2}+2=0 & & \\ \sqrt{a-2}+\sqrt{a^{3}-3a^{2}+b+2}=a^{2}-3b & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $a \geq 1+\sqrt{2} \longrightarrow a^2 >4$

 

$PT(1) \iff (a-b-1)(b^2+ab+2b+a^2+a-2)=0$

 

$\iff b=a-1$    v    $b^2+(a+2)b+a^2+a-2=0 \ (*)$

 

Xét (*): $\Delta=(a+2)^2-4(a^2+a-2)=-3(a^2-4) <0 \longrightarrow \ PT(*)$ vô nghiệm.

 

Với $b=a-1$ thay vào ta có:

 

$\sqrt{a-2}+\sqrt{a^3-3a^2+a+1}=a^2-3a+3$

 

$\iff 2a^2-6a+6-2\sqrt{a-2}-2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}=0$

 

$\iff 2(a^2-6a+9)+(a-1-2\sqrt{a-2})+(5a-11-2\sqrt{a^3-3a^2+a+1})=0$

 

$\iff 2(a-3)^2+\dfrac{(a-3)^2}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{(4a-13)(a-3)^2}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0$

 

$\iff (a-3)^2\begin{pmatrix} 2+\dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{4a-13}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}} \end{pmatrix}=0$

 

$\iff a=3$     v     $2+\dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{4a-13}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0 \ (**)$

 

Xét $(**)$ ta có:

 

$\iff \dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}+\dfrac{4\sqrt{a^3-3a^2+a+1}+6a-9}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0$

 

Ta thấy với $a \geq 1+\sqrt{2}$ thì $ \dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}>0$ và $\dfrac{4\sqrt{a^3-3a^2+a+1}+6a-9}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}>0$

 

Vì vậy $VT >VP \longrightarrow (**)$ vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 12-02-2016 - 16:25