Đến nội dung

Hình ảnh

Tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm bất kì trên $BC(D\neq B,C)$. E,F lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC. CMR AE.EB+AF.FC=BD.DC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Ba Hiep

Ba Hiep

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Bài 1

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm bất kì trên $BC(D\neq B,C)$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$. CMR $AE.EB+AF.FC=BD.DC$

Bài 2

Cho hình thanh vuông $ABCD$, một đường thẳng thay đổi qua $A$, cắt $BC$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$. CMR $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AB^2}$



#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 1

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm bất kì trên $BC(D\neq B,C)$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$. CMR $AE.EB+AF.FC=BD.DC$

Bài 2

Cho hình thanh vuông $ABCD$, một đường thẳng thay đổi qua $A$, cắt $BC$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$. CMR $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AB^2}$

1/

$<=>\frac{AE.EB}{DC.DC}+\frac{AF.FC}{DC.DC}=\frac{BD}{DC}$ (1)

$\Delta BED\sim \Delta DFC$

$=>\frac{AE}{DC}=\frac{DF}{DC}=\frac{EB}{BD}$

$=>\frac{FC}{DC}=\frac{ED}{BD}=\frac{AF}{BD}$

$(1)<=>\frac{EB^2}{BD.DC}+\frac{AF^2}{BD.DC}=\frac{BD}{DC}$

hay $EB^2+AF^2=EB^2+ED^2=BD^2$ (luôn đúng theo định lý Pytago)

Suy ra đpcm



#3
lequangnghia

lequangnghia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Bài 1

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm bất kì trên $BC(D\neq B,C)$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$. CMR $AE.EB+AF.FC=BD.DC$

Dễ thấy AEDF là hình chữ nhật. Khi đó

$AE.EB+AF.FC$

$=DF.EB+ED.FC$

$=DC.sin\widehat{FCD}.BD.sin\widehat{EDB}+BD.cos\widehat{EBD}.DC.cos\widehat{EBD}$

$=DC.BD(sin^{2}\widehat{FCD}+cos^{2}\widehat{FCD})=DC.BD$


Best teacher of seaver sea


#4
NickyAdsaly

NickyAdsaly

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Bài 2:

Trên tia đối tia $DC$ lấy điểm $E$ sao cho $DE = BM$

Xét $\Delta DEA$ ( $\widehat{ADE} = 90^{\circ}$) và $\Delta BMA$ ($\widehat{ABM} = 90^{\circ}$) ta có:

AB = AD

BM=DE

Vậy $\Delta DEA \sim \Delta BMA$ 

Suy ra: $AE = AM$

và  $\widehat{EAD} = \widehat{BAM}$

Suy ra: $\widehat{EAN} = 90^{\circ}$

Xét tam giác vuông $EAN$ có: 

$\frac{1}{AD^{2}}= \frac{1}{AE^{2}} + \frac{1}{AN^{2}}$

suy ra: $\frac{1}{AB^{2}}= \frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AN^{2}}$

 

P/s: hình thang vuông mình đọc thành hình vuông, sorry đã spam.  :mellow:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NickyAdsaly: 12-02-2016 - 15:56

After all this time?

Always...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh