Sáu nhà toán học ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi nhà toán học mang trong mình một con số và thực hiện thay đổi các con số này theo quy tắc sau: Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm $1$ đơn vị.
Hỏi rằng nếu theo quy tắc này thì các nhà toán học có thể làm cho sáu con số của họ đều bằng nhau được không? Nếu các con số ban đầu (các số được sắp theo đúng thứ tự như thế trên bàn tròn) là:
a) $6,5,4,3,2,1$.
b) $7,5,3,2,1,4$.
Phạm Quang Toàn (chế lại từ một ý tưởng cũ)
a)Giả sử các nhà toán học có thể làm cho 6 con số của họ bằng nhau
Tổng các số ban đầu của tất cả các nhà toán học là:$6+5+4+3+2+1=21$ là một số lẻ (*)
Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm
$1$ đơn vị nên khi đó tổng các số thêm vào là một số chẵn.(vì số nhà toán học là $6$)Kết hợp với $(*)$ suy ra tổng các số sau khi chuyển là một số lẻ (vì một số chẵn cộng với một số lẻ ra một số lẻ) (**)
Để cả sáu con số đều bằng nhau thì tổng các số của các nhà toán học phải là một số chẵn (***)
Từ (**)(***) ta có điều mâu thuẫn nên điều giả sử là sai.Do đó các nhà toán học không thể làm cho 6 con số của họ đều bằng nhau trong trường hợp này.
Nhận xét: Tổng quát trường hợp này như sau:
$2n$ nhà toán học ngồi quanh một bàn tròn($n$ nguyên dương). Mỗi nhà toán học mang trong mình một con số và thực hiện thay đổi các con số này theo quy tắc sau: Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm
$m$ (m nguyên dương) đơn vị.Khi đó các nhà toán học không thể làm cho $2n$ con số của mình bằng nhau khi tổng các số của họ là một số lẻ.
Chứng minh:
Giả sử các nhà toán học có thể làm cho $2n$ con số của họ bằng nhau
Tổng các số ban đầu của tất cả các nhà toán học là một số lẻ (1)
Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm
$m$ đơn vị nên khi đó tổng các số thêm vào là một số chẵn.(vì số nhà toán học là $2n$)Kết hợp với $(1)$ suy ra tổng các số sau khi chuyển là một số lẻ (vì một số chẵn cộng với một số lẻ ra một số lẻ) (2)
Để cả $2n$ con số đều bằng nhau thì tổng các số của các nhà toán học phải là một số chẵn (3)
Từ (2)(3) ta có điều mâu thuẫn nên điều giả sử là sai.Do đó các nhà toán học không thể làm cho $2n$ con số của họ đều bằng nhau trong trường hợp này.
b)Nếu các con số ban đầu (các số được sắp theo đúng thứ tự như thế trên bàn tròn) là:$7,5,3,2,1,4$ thì các nhà toán học có thể làm cho sáu con số của họ đều bằng nhau.Thật vậy(xem hình)
vmeo t12 p1.JPG 20.89K
1 Số lần tải
vmeo t12 p2.JPG 18.02K
1 Số lần tải
(Với $a,b,c,d,e,f,g,h,m,n,p$ là các bước chuyển các con số của các nhà toán học)
P/s:Sao bên THCS im ắng quá vậy,báo cáo tình hình nào =))
![[Tổ hợp] THPT tháng 12: Tính tổng các số tribi - bài viết cuối bởi baopbc](https://diendantoanhoc.org/uploads/profile/photo-thumb-147522.png?_r=1463653054)
![[Hình học] THPT tháng 12: Chứng minh $PA=PL$. - bài viết cuối bởi Belphegor Varia](https://diendantoanhoc.org/uploads/profile/photo-129522.png?_r=1460773747)
![[Đại số]THPT tháng 12: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left| \sum\frac{a^3-b^3}{a+b} \right|$ - bài viết cuối bởi Gachdptrai12](https://diendantoanhoc.org/uploads/profile/photo-thumb-145259.jpg?_r=1476981602)
