#1
Đã gửi 12-02-2016 - 15:02
- PlanBbyFESN, Element hero Neos và mydreamisyou thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 12-02-2016 - 15:29
Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$
Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.
Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$
Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$
Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-02-2016 - 20:37
- Zaraki, PlanBbyFESN, Minhnguyenthe333 và 4 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 12-02-2016 - 20:23
Anh dogsteven làm vậy thì chết em rồi!
Em giải thế này: P/s: Sai ở đâu nhờ các anh tìm giúp:
2.1) Cho c=0, ta được$a^{2}+b^{2}-ab\geq k\left | \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$(*)
Không giảm tính tổng quát, giả sử a>b thì (*) tương đương với
$k\leq \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)}{ab(a-b)}=\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}$
Lại có:$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}> \frac{a+b}{a-b}> 1$
Cho $a\rightarrow b$ và $b\rightarrow 0$ thì $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}\rightarrow 1$
Vậy k lớn nhất bằng 1
Ta chứng minh k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm tức là chứng minh:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq \left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |=\left |\sum (a^{2}-b^{2}-\frac{ab(a-b)}{a+b} \right |=$$\left | \sum \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$
Trước tiên ta có đánh giá sau:$a(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b\Leftrightarrow (a^{2}+ab)(a+b)\geq 4a^{2}b\Leftrightarrow \frac{a^{2}+ab}{2}\geq \frac{2a^{2}b}{a+b}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}\geq 0$ thì:
Vế phải=$\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}$=$\sum \frac{2a^{2}b}{a+b}-\sum ab\leq \sum \frac{a^{2}+ab}{2}-\sum ab=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{2}\leq \sum a^{2}-\sum ab$=vế trái
Vậy bất đẳng thức đúng $\Rightarrow$ k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm
- Zaraki, PlanBbyFESN và haichau0401 thích
#4
Đã gửi 12-02-2016 - 20:35
Anh dogsteven làm vậy thì chết em rồi!
Em giải thế này: P/s: Sai ở đâu nhờ các anh tìm giúp:
2.1) Cho c=0, ta được$a^{2}+b^{2}-ab\geq k\left | \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$(*)
Không giảm tính tổng quát, giả sử a>b thì (*) tương đương với
$k\leq \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)}{ab(a-b)}=\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}$
Lại có:$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}> \frac{a+b}{a-b}> 1$
Cho $a\rightarrow b$ và $b\rightarrow 0$ thì $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}\rightarrow 1$
Vậy k lớn nhất bằng 1
Ta chứng minh k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm tức là chứng minh:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq \left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |=\left |\sum (a^{2}-b^{2}-\frac{ab(a-b)}{a+b} \right |=$$\left | \sum \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$
Trước tiên ta có đánh giá sau:$a(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b\Leftrightarrow (a^{2}+ab)(a+b)\geq 4a^{2}b\Leftrightarrow \frac{a^{2}+ab}{2}\geq \frac{2a^{2}b}{a+b}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}\geq 0$ thì:
Vế phải=$\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}$=$\sum \frac{2a^{2}b}{a+b}-\sum ab\leq \sum \frac{a^{2}+ab}{2}-\sum ab=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{2}\leq \sum a^{2}-\sum ab$=vế trái
Vậy bất đẳng thức đúng $\Rightarrow$ k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm
Bạn coi lại chỗ này giúp, chắc sai chỗ này vì cái $\dfrac{a^3+b^3}{ab(a-b)}$ có giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{9+6\sqrt{3}}$, cỡ $4.4$ nên để thằng đó dần đến $1$ thì thấy hơi vô lý.
- Zaraki, PlanBbyFESN và baopbc thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 12-02-2016 - 20:47
Một bài tương tự:
Tìm tất cả các số thực $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:
\[k\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\right)\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{3k-2}{2}\]
(Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, trang 604)
Không biết hai bất đẳng thức này có tương đương không mà điểm rơi giống nhau và thằng $k$ cũng chả khác nhau mấy.
- Zaraki, PlanBbyFESN, ineX và 1 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#6
Đã gửi 12-02-2016 - 21:10
Một bài tương tự:
Tìm tất cả các số thực $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:
\[k\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\right)\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{3k-2}{2}\]
(Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, trang 604)
Không biết hai bất đẳng thức này có tương đương không mà điểm rơi giống nhau và thằng $k$ cũng chả khác nhau mấy.
BĐT này tương đương với:
$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq\frac{k(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ nên nó gần như giống với đề tháng 12 này, chỉ khác ở chỗ một bên là $k$ với dấu giá trị tuyệt đối, một bên là $\frac{k}{2}$.
- Zaraki, dogsteven và PlanBbyFESN thích
#7
Đã gửi 12-02-2016 - 21:25
BĐT này tương đương với:
$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq\frac{k(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ nên nó gần như giống với đề tháng 12 này, chỉ khác ở chỗ một bên là $k$ với dấu giá trị tuyệt đối, một bên là $\frac{k}{2}$.
Thực ra thì bỏ dấu giá trị tuyệt đối vào kết quả cho $k$ cũng không khác nhau là mấy vì khi giảm $a,b,c$ đi cùng một lượng thì các đại lượng trên cũng không đổi, và ý tưởng của bài này cũng là đưa một biến về $0$ để xét hàm còn lại 2 biến
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-02-2016 - 21:27
- Zaraki, huuhieuht và PlanBbyFESN thích
#8
Đã gửi 12-02-2016 - 21:41
Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.Anh Nguyễn Văn Huyện
Bài này có lẽ được tổng quát từ bài: Moldova TST 2004
Bài đó như sau: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |\leq \frac{\sum (a-b)^{2}}{4}$
Xem chi tiết hơn tại đây: https://mathifc.wordpress.com/page/2/
- Zaraki và PlanBbyFESN thích
#9
Đã gửi 15-02-2016 - 19:15
Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$
Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.
Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$
Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$
Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị.
Lời giải này chưa có điều kiện đủ nhỉ?
#10
Đã gửi 15-02-2016 - 19:24
Lời giải này chưa có điều kiện đủ nhỉ?
Em phát biểu ở dạng điều kiện cần và đủ luôn rồi anh.
Nếu bất đẳng thức đúng thì nó đúng khi một biến bằng $0$
Nếu bất đẳng thức đúng khi một biến bằng $0$ thì nó đúng.
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$.
- hoangtubatu955 và mathstu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#11
Đã gửi 22-02-2016 - 15:25
Em phát biểu ở dạng điều kiện cần và đủ luôn rồi anh.
Nếu bất đẳng thức đúng thì nó đúng khi một biến bằng $0$
Nếu bất đẳng thức đúng khi một biến bằng $0$ thì nó đúng.
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$.
oke, đã hiểu. Một lời giải hay. Anh đọc thiếu một chút, anh xin lỗi.
#12
Đã gửi 30-03-2016 - 12:04
Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$
Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.
Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$
Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$
Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$
Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị
cho mình hỏi vì sao chứng minh cái bất đẳng thức cái dòng màu đỏ thì suy ra nó đúng vậy
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmeo
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh