Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$


What is .......>_<.....


#2
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Ta có: $VT\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{x+y})\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{1}{x})=1$

(áp dụng:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ )... :D  :like 


"Attitude is everything"


#3
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương
 

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

$AM-GM: a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 \geq 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$
nên $\frac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \frac{1}{2(ab+b+1)}$
Tương tự, $\Rightarrow VT \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{1}{ab+b+1})$
Lại có: $\sum\frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{ab+b+1}=1$
Suy ra $\Rightarrow VT \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{1}{ab+b+1})=\frac{1}{2}$
haizzz

#4
Le Dinh Hai

Le Dinh Hai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

Với $a$ or $b$ or $c =0$ thì BĐT luôn đúng.

Với $a,b,c\neq 0$,ta có:

$b+c \geq 16abc <=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16a$

$<=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16(1-b-c)$

$<=>\frac{1}{b}+16b+\frac{1}{c}+16c \geq 16$ (luôn đúng theo Cauchy)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 15-02-2016 - 19:57

Redragon





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh