Chủ đề này có 5 trả lời

[OiDzOiOi]

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

 

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 14-02-2016 - 21:15

[PlanBbyFESN]

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

 

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 14-02-2016 - 21:14

[leanh9adst]

Bài 3:BĐT cần chứng minh tương đương với:$(b+c)(a+b+c)^2\geq 16abc$( do a+b+c=1)

Áp dụng BĐT $(x+y)^2\geq 4xy$ thì:$(b+c)(a+b+c)^2\geq (b+c)4a(b+c)=4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc$

đpcm

[OiDzOiOi]

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Làm giúp bài 4 luôn bạn

[leanh9adst]

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Bài 3 là 16abc chứ bạn

[PlanBbyFESN]

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

 

Bài 4:

 

$x^{2011}+1+...+1\geq 2011x$          (2010 số 1)

 

tương tự............. 

 

$\Rightarrow x+y+z\leq 3$

 

$x^{2011}+x+1+...+1\geq 1006x^{2}$          (1004 số 1)

 

tương tự ........

 

$\Rightarrow 1006(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 1004.3+1+x+y+z\leq 1004.3+3+3= 3018\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3$

....................................................